인접 행렬의 고유 값 배후

나는 현재 Cheeger 경계 와 Cheeger의 불평등, 스펙트럼 분할, 컨덕턴스, 확장 등에 대한 이해를 이해하기 위해 노력하고 있지만 여전히 인접 행렬의 두 번째 고유 값에 관한 직관을 시작하기 위해 고심하고 있습니다.
일반적으로 그래프 이론에서 우리가 접하는 대부분의 개념은 직관하기가 매우 간단하지만이 경우 두 번째 고유 값이 매우 낮거나 매우 높은 그래프 유형을 생각해 낼 수 없습니다.
나는 SE 네트워크에서 여기저기서 비슷한 질문을 읽었지만 일반적으로 다른 분야의 고유 값 ( 다변량 분석 , 유클리드 거리 행렬 , 상관 행렬 ...)을 나타냅니다.
그러나 스펙트럼 분할 및 그래프 이론에 대해서는 아무것도 없습니다.

그래프와 인접 행렬의 경우 누군가이 두 번째 고유 값에 대한 직관 / 경험을 공유하려고 할 수 있습니까?

두 번째 (크기) 고유 값은 그래프에서 랜덤 워크의 수렴 속도를 제어합니다. 이것은 Luca Trevisan의 강의 노트와 같은 많은 강의 노트에 설명되어 있습니다. 대략적으로 말하면, L2는 균일 성까지의 거리$t$ 단계는 $\lambda_2^t$.

두 번째 고유 값이 나타나는 또 다른 곳은 심어진 파편 문제 입니다. 시작점은 무작위$G(n,1/2)$ 그래프는 크기의 파벌을 포함 $2\log_2 n$욕심 많은 알고리즘은 크기의 파벌 만 찾습니다. $\log_2 n$더 효율적인 알고리즘은 알려져 있지 않습니다. 욕심 많은 알고리즘은 임의의 노드를 선택하고 이웃이 아닌 모든 것을 버리고 반복합니다.

이것은 위에 큰 도둑을 심는 것을 제안합니다.$G(n,1/2)$. 문제는 우리가 효율적으로 찾을 수 있도록 도둑이 얼마나 커야 하는가입니다. 우리가 크기의 파벌을 심으면$C\sqrt{n\log n}$그런 다음, 우리는 그 정도만으로 도당의 정점을 식별 할 수 있습니다. 그러나이 방법은 크기의 파쇄에만 작동합니다$\Omega(\sqrt{n\log n})$. 스펙트럼 기법을 사용하여이를 개선 할 수 있습니다.$C\sqrt{n}$그런 다음 Alon, Krivelevich 및 Sudakov 가 고전 논문에서 보여준 것처럼 두 번째 고유 벡터 는 클릭을 암호화합니다 .

보다 일반적으로, 처음 몇 개의 고유 벡터는 그래프를 적은 수의 클러스터로 분할하는 데 유용합니다. 고차 Cheeger 불평등을 설명하는 Luca Trevisan 강의 노트 3 장을 참조하십시오 .

(면책 조항 :이 답변은 일반적으로 두 번째 고유 값이 아닌 그래프의 고유 값에 관한 것입니다. 그럼에도 불구하고 도움이되기를 바랍니다.)

그래프의 고유 값에 대한 흥미로운 사고 방식 $G = (V, E)$ 벡터 공간을 차지하는 것입니다 $\mathbb{R}^n$ 어디 $n = |V|$ 함수로 각 벡터를 식별 $f\colon V \to \mathbb{R}$(즉, 정점 라벨링). 인접 행렬의 고유 벡터는 다음의 요소입니다.$f \in \mathbb{R}^n$ 그런 $\lambda \in \mathbb{R}$ (즉, 고유 값) $A f = \lambda f$, $A$ 인접 행렬 $G$. 참고$A f$ 모든 정점을 보내는지도와 관련된 벡터입니다. $v \in V$ 에 $\sum_{u \in N(v)} f(u)$, $N(v)$ 이웃 집합 (즉, 인접한 정점) $u$. 따라서이 설정에서 고유 벡터 속성은$f$그 속성에 대응하는 기능을 합한 값 (이하$f$) 정점의 이웃은 상수 정점의 함수 값을 곱한 것과 동일한 결과를 얻을$\lambda$.

대부분의 경우 그래프의 라플라시안을 보는 것이 더 생산적이라고 생각합니다 $G$인접 행렬과 밀접한 관련이 있습니다. 여기에서 두 번째 고유 값을 그래프의 "로컬 대 글로벌"속성과 연관시킬 수 있습니다.

간단하게하기 위해 $G$ 이다 $d$-정규병. 그런 다음 정규화 된 라플라시안$G$ 이다 $L= I - \frac1d A$, 어디 $I$ 입니다 $n\times n$ 정체성과 $A$인접 행렬입니다. 라플라시안에 대한 좋은 점은 벡터를 함수로 쓰는 것입니다.$f: V\to \mathbb{R}$ @dkaeae와 같은 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 일반적인 내부 제품에 대해, 우리는 $L$:

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

최대 고유 값 $A$ 이다 $d$,의 가장 작은 고유 값에 해당합니다. $L$입니다. $0$; 두 번째로 큰 고유 값$\lambda_2$ 의 $A$ 두 번째로 작은 고유 값에 해당 $L$입니다. $1 - \frac{\lambda_2}{d}$. 에 의해 최소 - 최대 원리 , 우리는이

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

그것을주의해라 $\langle f, Lf\rangle$ 우리가 움직일 때 변하지 않습니다 $f$모든 정점에 대해 동일한 상수로 따라서 동등하게$f:V \to \mathbb{R}$"중심"기능 $f_0$ 으로 $f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$, 쓰기

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

이제 약간의 계산 결과는 $\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$, 위의 치환 및 분자를 분모로 나눕니다. $\frac{n}{2}$우리는

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

이것이 의미하는 것은 모든 정점을 배치하면 $u$ 의 $G$ 포인트에서 실제 라인에 $f(u)$그래프에서 두 개의 독립적 인 랜덤 정점 사이의 평균 거리 (분모)는 최대 $\frac{d}{d - \lambda_2}$그래프에서 임의의 모서리 끝점 사이의 평균 거리 (분자)를 곱합니다. 이런 의미에서, 스펙트럼 차이가 크다는 것은$G$ (로컬 동작)은 상관되지 않은 임의의 정점 쌍 (글로벌 동작)에서 발생하는 상황에 대한 좋은 예측 변수입니다.