요소를 반복하지 않고 한 쌍의 세트에서 조합 생성

한 쌍의 세트가 있습니다. 각 쌍은 x, y가 범위의 정수에 속하도록 (x, y) 형식 [0,n)입니다.

따라서 n이 4이면 다음 쌍이 있습니다.

(0,1) (0,2) (0,3)
(1,2) (1,3) 
(2,3) 

이미 쌍이 있습니다. 이제 n/2정수를 반복하지 않도록 쌍을 사용하여 조합을 만들어야합니다 (즉, 각 정수는 적어도 마지막 조합에서 한 번 이상 나타납니다). 다음은 더 나은 이해를위한 올바른 조합과 잘못된 조합의 예입니다.

 1. (0,1)(1,2) [Invalid as 3 does not occur anywhere]
 2. (0,2)(1,3) [Correct]
 3. (1,3)(0,2) [Same as 2]

누군가가 쌍을 갖게되면 가능한 모든 조합을 생성하는 방법을 제안 할 수 있습니까?

직접적인 방법 중 하나는 각 호출에서 다음을 수행하는 재귀 프로 시저입니다. 프로 시저에 대한 입력은 이미 선택된 쌍의 목록과 모든 쌍의 목록입니다.

1. 입력 목록에서 아직 다루지 않은 가장 작은 숫자를 계산하십시오. 첫 번째 호출의 경우 페어가 선택되지 않았으므로 0이됩니다.
2. 모든 숫자가 적용되는 경우 올바른 조합을 갖고 인쇄 한 후 이전 단계로 돌아갑니다. 그렇지 않으면 발견되지 않은 가장 작은 숫자가 목표입니다.
3. 대상 번호를 포함하는 방법을 찾기 위해 쌍을 검색하십시오. 없는 경우 이전 수준의 재귀로 돌아갑니다.
4. 대상 번호를 처리 할 수있는 방법이있는 경우 첫 번째 방법을 선택하고 방금 선택한 쌍을 선택한 쌍 목록에 추가하여 전체 프로 시저를 재귀 적으로 다시 호출하십시오.
5. 다시 돌아 오면 이전에 선택한 쌍과 겹치지 않고 대상 번호를 한 쌍으로 덮는 다음 방법을 찾으십시오 . 하나를 찾으면 선택하고 다음 절차를 재귀 적으로 호출하십시오.
6. 대상 번호를 더 이상 덮을 방법이 없을 때까지 4 단계와 5 단계를 계속하십시오. 전체 쌍 목록을 살펴보십시오. 더 이상 올바른 선택이 없으면 이전 수준의 재귀로 돌아갑니다.

이 알고리즘을 시각화하는 방법은 경로가 겹치지 않는 쌍의 트리 인 트리를 사용하는 것입니다. 트리의 첫 번째 레벨에는 0을 포함하는 모든 쌍이 포함됩니다. 위의 예에서 트리는

           뿌리
             |
     ----------------
     | | |
   (0,1) (0,2) (0,3)
     | | |
   (2,3) (1,3) (1,2)

이 예에서 트리를 통과하는 모든 경로는 실제로 올바른 모음을 제공하지만, 예를 들어 (1,2) 쌍을 제외하면 가장 오른쪽 경로에는 하나의 노드 만 있고 3 단계의 검색에 해당합니다.

이 유형의 검색 알고리즘은 특정 유형의 모든 객체를 열거하는 많은 유사한 문제에 대해 개발 될 수 있습니다.

아마도 OP 는 질문이 말한 것처럼 단지 쌍이 아니라 모든 쌍이 입력에 있음을 의미한다고 제안했습니다 . 이 경우 더 이상 허용되는 쌍을 확인할 필요가 없으므로 알고리즘이 훨씬 더 쉽습니다. 모든 쌍의 세트를 생성 할 필요조차 없습니다. 다음 의사 코드는 OP가 요청한 것을 수행합니다. 여기서 은 입력 번호이고, "list"는 빈 목록으로 시작하고 "covered"는 0으로 초기화 된 길이 의 배열입니다. 좀 더 효율적으로 만들 수는 있지만 바로 나의 목표는 아닙니다.$n$$n$

sub cover {
  i = 0;
  while ( (i < n) && (covered[i] == 1 )) {
   i++;
  }
  if ( i == n ) { print list; return;}
  covered[i] = 1;
  for ( j = 0; j < n; j++ ) {
    if ( covered[j] == 0 ) {
      covered[j] = 1;
      push list, [i,j];
      cover();
      pop list;
      covered[j] = 0;
    }
  }
  covered[i] = 0;
}

반복적으로 해결할 수 있습니다. 범위에 대한 모든 솔루션 이 있다고 가정합니다 . 그러면 에서 솔루션 를 쉽게 구성 할 수 있습니다 . 크기는 매우 빠르게 커지 므로 모든 세트를 메모리에 보관하는 대신 생성기를 작성하는 것이 좋습니다. 아래 Python 예제를 참조하십시오. [ 0 , N ) S N + 2 S , N$S_n$$[0,n)$$S_{n+2}$$S_n$$n$

def pairs(n):
    if (n%2==1 or n<2):
        print("no solution")
        return
    if (n==2):
        yield(  [[0,1]]  )
    else:
        Sn_2 = pairs(n-2) 
        for s in Sn_2:
            yield( s + [[n-2,n-1]] )
            for i in range(n/2-1):
                sn = list(s)
                sn.remove(s[i])
                yield( sn + [ [s[i][0], n-2] , [s[i][1], n-1] ] )
                yield( sn + [ [s[i][1], n-2] , [s[i][0], n-1] ] )

당신은 전화하여 모든 쌍을 나열 할 수 있습니다

for x in pairs(6):
   print(x)

업데이트 : 이전 답변은 OP가 요구하지 않은 이분 그래프를 처리했습니다. 관련 정보로 지금 남겨두고 있습니다. 그러나 더 적절한 정보는 이분자가 아닌 그래프의 완벽한 일치와 관련이 있습니다.

이와 관련 하여 Propp의 진행 상황 에 대한 훌륭한 설문 조사가 있습니다 (1999 년까지). 이 기사의 일부 아이디어와 관련 링크가 유용 할 수 있습니다. TL; DR은-까다 롭습니다 :)

--- 옛날 답변 시작

당신이 요구하는 것은 이분 그래프에서 가능한 모든 완벽한 일치를 열거한다는 것입니다. 이를 수행하기위한 여러 가지 알고리즘이 있으며, 특히 최신 알고리즘 중 하나는 ISAAC 2001 에서 온 것입니다 .

기본 개념은 네트워크 흐름을 사용하여 하나의 완벽한 일치를 찾은 다음 교번 사이클을 사용하여이를 반복해서 수정하는 것입니다 (자세한 내용은 네트워크 흐름에 대한 알고리즘 교과서 장 참조).

선택한 모든 쌍은 더 이상 선택할 수없는 두 개의 행을 제거합니다. 이 아이디어는 스칼라에서 재귀 알고리즘을 설정하는 데 사용할 수 있습니다.

def combine(pairs : Seq[(Int,Int)]) : Seq[Seq[(Int, Int)]] = pairs match {
  case Seq() => Seq()
  case Seq(p) => Seq(Seq(p))
  case _ => {
    val combinations = pairs map { case (a,b) => {
      val others = combine(pairs filter { case (c,d) =>
        a != c && a != d && b != c && b != d
      })

      others map { s => ((a,b) +: s) }
    }}

    combinations.flatten map { _.sorted } distinct
  }
}

이것은보다 효율적인 방식으로 표현 될 수 있습니다. 특히 조합에 대해 전체 행을 고려하지 않아도된다는 아이디어는에 대한 호출에서 사용되지 않습니다 filter.

이 질문에 대해 이미 많은 사랑스러운 답변이 있지만 기본적이고 일반적인 트릭을 지적하는 것이 좋을 것이라고 생각합니다.

결합 할 요소의 전체 순서를 가질 수있는 경우 고유 한 조합을 생성하는 것이 훨씬 쉽습니다 . 이런 식으로 정렬 조합 만 허용하면 고유성이 보장됩니다. 정렬 된 조합을 생성하는 것은 어렵지 않습니다. 일반적인 무차별 대입 열거 검색 만 수행하지만 각 단계에서 각 단계에서 이미 선택한 것보다 큰 요소 만 선택합니다.

이 특정 문제의 추가적인 합병증은 길이 n / 2 (최대 길이)의 조합 만 얻으려는 욕구입니다. 우리가 좋은 분류 전략을 결정한다면 이것은 어려운 일이 아닙니다. 예를 들어 Carl Mummet의 답변에서 지적했듯이 사전 편찬을 고려하면 (질문의 다이어그램에서 하향식, 왼쪽-오른쪽) 항상 첫 번째 숫자가 다음 요소가되도록 다음 요소를 취하는 전략을 도출합니다. 여전히 사용되지 않은 가장 작은 숫자입니다.

다른 길이의 시퀀스를 생성하려는 경우에도이 전략을 확장 할 수 있습니다. 첫 번째 숫자가 사용 가능한 가장 작은 요소가 아닌 다음 요소를 선택할 때마다 하나 이상의 요소 행이 정렬 된 하위 시퀀스에 나타나지 않도록 배정되므로 사전 치환의 최대 길이는 그에 따라 줄어 듭니다.

이것이 당신이 요구하는 것인지 확실하지 않지만 내가 이해하는 것처럼, 당신은 모든 정렬되지 않은 쌍을 가지고 있고 모든 쌍의 목록을 세고 싶습니다. 집합 여기서 은 짝수입니다. 우리는 다음과 같이 생각할 수 있습니다 에지 코팅 의 에 전체 그래프 정점.$n \choose 2$$[n] = \{1, \cdots, n\}$$[n]$$n$$K_n$$n$

또한 각 숫자 가 목록에 한 번만 나타나는 것으로 가정 합니다. 어떤 경우에, 우리는 완벽하게 일치하는 덮개만을보고 있습니다. 그래프에서 일치하는 수 는 인접 행렬 의 영구성 과 같습니다 . 따라서 을 계산해야합니다 .$[n]$$\mathsf{Perm}(K_n)$

영구는 인 것으로 알려져 있지만, 이는 일반적인 경우입니다. 들어 있다 같은 목록. $\mathsf{\#P\text{-}complete}$ $K_n$$\frac{n!}{2^{\frac{n}{2}}}$

이 모든 것을 생성하는 가장 쉬운 방법은 하나의 완벽한 일치를 수정 한 다음 순열을 적용하는 것입니다.$[n]$