최소 힙 (또는 기타 이국적인) 상태 시스템의 기능 결정

최소 힙 오토마타의 정의에 대한 설명은이 게시물의 끝 부분을 참조하십시오.

상태 머신이 사용하기위한 정보를 저장하기 위해 다양한 데이터 구조를 사용하는 것을 상상할 수 있습니다. 예를 들어 푸시 다운 오토마타는 정보를 스택에 저장하고 튜링 머신은 테이프를 사용합니다. 대기열을 사용하는 상태 머신과 두 개의 다중 스택 또는 테이프를 사용하는 상태 머신은 튜링 머신의 전원과 동등한 것으로 나타났습니다.

최소 힙 머신을 상상해보십시오. 푸시 다운 오토 마톤과 동일하게 작동하지만 다음과 같은 예외가 있습니다.

1. 힙에 추가 한 마지막 항목을 보는 대신 현재 힙에있는 가장 작은 요소 (시스템별로 순서가 정의 된 순서) 만 볼 수 있습니다.
2. 힙에 추가 한 마지막 항목을 제거하는 대신 현재 힙에있는 가장 작은 요소 중 하나만 (시스템별로 순서가 정의 된 순서로) 제거합니다.
3. 힙의 맨 위에 요소를 추가하는 대신 힙의 다른 요소에 따라 위치가 결정되는 힙만 요소를 추가 할 수 있습니다 (시스템별로 순서가 정의 됨).

이 기계는 힙을 사용하지 않고 모든 일반 언어를 수용 할 수 있습니다. 또한 힙에 a 를 추가 하고 b를 읽을 때 힙에서 a를 제거 하여 언어 $\displaystyle \{a^{n}b^{n} \in \{a, b\}^{*} \mid n \ge 0\}$ 을 사용할 수 있습니다. 다양한 다른 문맥없는 언어를 받아 들일 수 있습니다. 그러나 예를 들어 { w ∈ { a , b } ∗ ∣ w = w R }$a$$a$$b$$\displaystyle \{w \in \{a, b\}^{*} \mid w = w^{R}\}$(증거없이 명시). 편집 : 아니면 할 수 있습니까? 나는 그것이 할 수 있다고 생각하지 않지만, 전에 놀랐으며, 계속 나를 만들기로 가정 할 때 계속 놀랄 것입니다.

상황에 맞는 언어 나 튜링 완료 언어를 사용할 수 있습니까?

더 일반적으로,이 방향으로 어떤 연구가 추구 되었습니까? 어떤 결과가 있습니까? 또한 다른 종류의 이국적인 상태 머신, 아마도 저장을 위해 다른 데이터 구조를 사용하거나 액세스에 대한 다양한 종류의 제한 (예 : LBA가 TM을 제한하는 방식)에 관심이 있습니다. 참조가 감사합니다. 이 질문이 무지를 입증하고 있다면 미리 사과드립니다.

공식적인 정의 :

이 자료를 참조하는 질문에 대한 추가 논의를 명확히하기 위해 최소 힙 오토마타에 대한 더 자세한 정의를 여기에 제공합니다.

우리는 정의 유형 1 확정적 최소 힙 오토 마톤을 7 튜플 ...

1. 는 비어 있지 않은 유한 한 상태입니다.$Q$
2. 는 초기 상태이며;$q_0 \in Q$
3. 수용 상태의 세트이고;$A \subseteq Q$
4. 는 비어 있지 않은 유한 한 입력 알파벳입니다.$\Sigma$
5. 심볼의 중량 한정된, 비어 입력 알파벳 인 γ ∈ Γ , w ( γ ) ∈ N은 이러한하다 w ( γ 1 ) = w ( γ 2$\Gamma$$\gamma \in \Gamma$$w(\gamma) \in \mathbb{N}$ ;$w(\gamma_1) = w(\gamma_2) \iff \gamma_1 = \gamma_2$
6. 는 특수한 최하부 기호입니다.$Z_0 \notin \Gamma$
7. 는 전환 기능입니다.$\delta : Q \times (\Sigma \cup \{\epsilon\}) \times (\Gamma \cup \{Z_0\}) \rightarrow \mathcal{P}({Q \times \Gamma^*})$

전이 함수는 만으로 구성된 초기 비어있는 힙을 가정하여 작동합니다 . 전이 함수는 요소들 ( γ 1 , γ 2 , )의 임의의 컬렉션 (유한이지만 가능하거나 비어 있거나 반복하는)을 힙에 추가 할 수있다 . . . , γ k ∈ Γ . 대안 적으로, 전이 함수는 가장 낮은 가중치 w ( γ )를 갖는 요소 γ 의 인스턴스를 제거 할 수있다$Z_0$$\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_k \in \Gamma$$\gamma$$w(\gamma)$힙에 남아있는 모든 요소 (즉, 힙 위에있는 요소). 전이 함수는 주어진 전이를 결정할 때 최상위 (즉, 최소 가중치) 심볼 인스턴스만을 사용할 수있다.

또한, 정의 제 1 형 결정 최소 힙 오토 마톤을 만족시키는 형태 1 확정적 최소 힙 기계적으로 다음 특성 : 전체 문자열 되도록 | x | = n 및 σ ∈ Σ , | δ n + 1 ( q 0 , x σ y , Z 0 ) | ≤ 1 .$x{\sigma}y \in \Sigma$$|x| = n$$\sigma \in \Sigma$$|\delta^{n+1}(q_0, x{\sigma}y, Z_0)| \leq 1$

다음 변경 사항을 제외하고 유형 1 비 결정적 최소 힙 오토 마톤과 유형 2 비 결정적 최소 힙 오토 마톤을 정확하게 정의하십시오 .

1. 심볼의 중량 한정된, 비어 입력 알파벳 인 γ ∈ Γ , w ( γ ) ∈ N은 이러한하다 w ( γ 1 ) = w ( γ 2 ) 수행 반드시 의미하지는 γ 1 = γ 2 ; 다시 말해서, 다른 힙 기호는 동일한 가중치를 가질 수 있습니다.$\Gamma$$\gamma \in \Gamma$$w(\gamma) \in \mathbb{N}$$w(\gamma_1) = w(\gamma_2)$$\gamma_1 = \gamma_2$
2. 동일한 가중치를 가진 별개의 힙 심볼 인스턴스가 힙에 추가되면 상대 순서는 후입 선출 (LIFO) 스택 유사 순서에 따라 유지됩니다.

문맥이없는 언어를 포착하고 확장하는보다 자연스러운 정의를 지적 해준 Raphael에게 감사드립니다.

일부 결과는 지금까지 입증되었습니다.

1. Type-1 min-heap automata는 문맥이없는 언어의 하위 집합이거나 상위 집합이 아닌 언어 세트를 인식합니다. [ 1 , 2 ]
2. Type-2 min-heap automata는 그 정의에 따라 문맥이없는 언어의 적절한 수퍼 세트 인 언어 세트와 type-1 min-heap 오토마타에 의해 허용되는 언어의 적절한 수퍼 세트를 인식합니다.
3. 유형 1 최소 힙 오토마타에 의해 허용되는 언어는 노동 조합, 연결 및 클레인 별에서는 닫혀 있지만 보완, [ 1 ], 교차 또는 차이는 없습니다.
4. 유형 1 비 결정적 최소 힙 오토마타에 의해 허용되는 언어는 유형 1 결정적 최소 힙 오토마타에 의해 허용되는 언어의 적절한 상위 세트 인 것으로 보입니다.

내가 놓친 몇 가지 다른 결과가있을 수 있습니다. 더 많은 결과가 나올 것입니다.

후속 질문

1. 반전중인 폐쇄? -- 열다
2. 보완중인 폐쇄? -- 아니!
3. 비결정론이 힘을 증가 시키는가? -- 예?
4. $HAL \subsetneq CSL$
5. 힙을 추가하면 유형 1의 전력이 증가합니까? - 대한 (?) k > $HAL^1 \subsetneq HAL^2 = HAL^k$$k > 2$
6. 스택을 추가하면 유형 1의 전력이 증가합니까? -- 열다

이러한 유형의 상태 머신을 사용하여 문맥에 맞지 않는 정식 비언어적이지만 상황에 맞는 언어 을 인식 할 수 있습니다. 요점은 당신이 모든을 위해 힙에 토큰을 추가 할 것입니다 문자와 구문 분석하는 동안 문자를 당신은 모든 구문 분석 때 그들은 단지 힙의 하단에 끝낼 수 있도록, 당신은 힙에 '큰'토큰을 추가 문자.a b $\{ a^n b^n c^n\ |\ n \geq 1 \}$$a$$b$$b$

힙 기호는 및 이며 여기서 입니다. 우리 모두에게 소비 입력에 상징을 추가합니다 힙에 문자. 우리가 발생할 경우 , 우리는 전략을 전환 : 모든 위해 우리가 연속적으로 발생 우리는 제거 힙에서와 추가 힙에. 를 만나면 제거 s가 부족한 다음 나머지 입력의 모든 에 대해 힙에서 를 제거해야합니다 . 힙이 비어있는 경우 문자열은 언어입니다. 분명히, 우리는 무언가 잘못되면 거부합니다.b a < b a a b b a b c a c $a$$b$$a < b$$a$$a$$b$$b$$a$$b$$c$$a$$c$$b$

최신 정보:

언어 은 (는) 최소 힙 오토마타에서 인식 할 수 없습니다. 을 인식 할 수있는 최소 힙 오토 마톤이 있다고 가정하십시오 . 우리는 를 읽은 후 자동 장치가있는 '상태'를 봅니다 (입력의 첫 부분이므로 은 다음입니다). 우리가 가지고있는 유일한 상태는 힙의 내용과 그 안에있는 오토 마톤의 특정 상태입니다. 이는 를 인식 한 '상태'가 과 일치하는 충분한 정보를 보유해야 한다는 것을 의미합니다 .E P A L w w R w w $EPAL = \{ ww^R | w \in \{a, b\}^* \}$$EPAL$$w$$w^R$$w$$w^R$

특히, 이렇게하려면 와 문자 로 구성된 단어 가 있으므로 다른 '상태'(여기서 )가 있어야 합니다. 한정된 수의 상태와 한정된 수의 힙 문자 만 있기 때문에 힙에 지수와 같은 일부 힙 문자 (예 : 가 포함 된 단어 가 있음을 의미합니다 . n = | 승 | 2 n a b w $2^n$$n = |w|$$2^n$$a$$b$$w$$x$

먼저 결정 론적 최소 힙 오토마타에 대한 정리를 증명 한 다음이 증거를 결정 론적 최소 힙 오토마타로 확장합니다. 특히, 일부 언어를 인식하는 결정 론적 오토마타는 무한 루프에 빠지지 않으며 이는 유용한 속성입니다.

힙은 입력에서 읽은 문자 수에서 선형 인 최대 수의 힙 토큰 만 포함 할 수 있음을 증명해야합니다. 이것은 가 힙에 기하 급수적으로 나타나는 것을 하여 최소 힙 오토마타로 을 인식 할 수 없다는 증거를 완성합니다 .E P A $x$$EPAL$

오토 마톤에는 유한 한 수의 상태 만 있고 결정 론적 오토 마톤은 무한 루프에 들어 가지 않기 때문에 입력 신호를 읽을 때 힙에 일정한 수의 힙 문자를 추가합니다. 마찬가지로 일부 힙 기호 를 사용하면 보다 엄격하게 일정한 수의 힙 문자 만 추가 할 수 있으며 스택 의 기호 수만 줄일 수 있습니다 (그렇지 않으면 무한 루프를 얻음).y $y$$y$$y$

따라서 힙 기호를 소비하면 더 큰 힙 기호가 (많은) 쌓일 수 있지만, 서로 다른 유형의 힙 기호가 일정 수에 따라 의존하지 않는 상수 만 있습니다. 이것은 힙 심볼의 수가 지금까지 읽은 입력 심볼의 수의 최대 (대) 상수 시간임을 의미합니다. 이것으로 결정 론적 증거를 완성합니다.$n$

결정적이지 않은 경우 증거는 비슷하지만 조금 까다 롭습니다. 힙에 일정한 수의 힙 토큰을 추가하는 대신 힙에 임의의 수의 힙 토큰을 추가합니다. 그러나 중요한 점은이 숫자가 의존하지 않는다는 것 입니다. 우리는 비 결정 론적으로 인식 한 후 힙에 딱 맞는 힙 기호를 얻을 수 있다면 특히, (오른쪽 인식하는 ), 우리는 또한 비 결정적으로 다른 단어와 일치하는 힙 기호를 선택할 수 있습니다 함으로써, 그리고 인식 하므로 최소 힙 오토 마톤이 정확히 인식한다는 것과 됩니다.w w R w ' w w ' R E P 경우 → $n$$w$$w^R$$w'$$w w'^R$$EPAL$

업데이트 3 : (비 결정론에 관한) 마지막 논쟁을 엄격하게 할 것입니다. 상기 인수, 즉 무한 세트가 존재해야모든 위해되도록, 인식 한 후, 힙 포함를요소 (무한한 단어 집합을 가지므로에 대해 이야기 할 수 있습니다. 결정적 수단을 통해 힙의 많은 요소를 얻을 수 없으므로 먼저 루프에 어떤 형태의 루프를 가져와야하는데, 입력을 소비하지 않고 힙에 더 많은 요소를 추가하기로 결정한 후 나중에이를 종료하기로 선택했습니다 루프, 그리고 우리는이 루프를번통과해야합니다.$W \subseteq \{a,b\}^*$$w \in W$$w$$\omega(|w|)$$O(f(|w|))$$\omega(1)$

사용하는 모든 루프 세트를 가져옵니다 . 상태 만 있기 때문에이 세트의 크기는 이고 모든 서브 세트 세트도 입니다. 실행 경로의 '결정적'부분은 토큰의 에만 기여할 수 있습니다. 즉, 많은 기하 급수적으로 많은 단어가 '결정적'부분이 동일한 역할을하는 실행 경로를 가져야합니다. 힙에 토큰. 특히, 더 많은 토큰을 얻는 유일한 방법은 위에서 식별 한 루프를 이용하는 것입니다.$W$$O(1)$$O(1)$$O(1)$$O(|w|)$

이러한 관찰, 거기에 두 가지 단어해야한다는이 수단의 결합 , 및 실행 경로의 '결정'부분 힙에 동일한 토큰을 기여하는 말, 그리고 그 루프의 일부 부분 집합 위를 취함으로써 차별화됩니다 다른 횟수이지만 루프의 동일한 하위 집합을 사용합니다 (이 루프에는 만 있음을 기억하십시오 ).$W$$w_1$$w_2$$O(1)$

우리는 지금 보여줄 수 또한 최소 힙이 자동 기계에 의해 인식 될 수있다 : 우리의 실행 경로를 따라 위와 같이, 그러나 우리는이 시대의 같은 수의 실행 경로 루프를 통과 들을 이송합니다. 이렇게하면 최소 힙에 토큰이 가 접미사로 허용되므로 증명이 완료됩니다.$w_1 w_2$$w_1$$w_2$$w_2$

업데이트 2 :

위의 의미는 로그 공간 만 사용하여 결정 론적 최소 힙 오토 마톤을 시뮬레이션 할 수 있음을 의미합니다. 우리는 최소 힙의 모든 유형의 문자에 대한 카운터를 유지합니다. 위에서 볼 수 있듯이이 카운터는 최대 이므로 공간 만 사용하여 저장할 수 있습니다 (이 카운터의 수가 일정하므로). 이것은 우리에게 :$O(n)$$O(\log n)$

$\mathrm{DHAL} \subset \mathrm{L}$

$\mathrm{HAL} \subset \mathrm{NL}$

여기서 은 일부 결정적 최소 힙 오토 마톤에 의해 인식되는 언어 세트입니다.$\mathrm{DHAL}$

다음은 우리가 (믿는) 것입니다.

• $\mathrm{HAL} \setminus \mathrm{CFL} \neq \emptyset$ (유형 -1, 유형 -2)
• $\mathrm{CFL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$ (유형 -1)
• $\mathrm{CFL} \subseteq \mathrm{HAL}$ (유형에 따라 유형 2)
• $\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$ (유형 -1, 유형 -2)

아래의 세부 사항 및 기타 참고 사항을 참조하십시오.

$\mathrm{HAL} \setminus \mathrm{CFL} \neq \emptyset$

답의이 부분은 타입 -1과 타입 -2와 관련이 있습니다.

유한하고 완전하게 정렬 된 힙 알파벳을 가진 최소 힙 오토 마톤 (HA)은 .$L = \{ a^nb^nc^n \mid n \in \mathbb{N} \} \in \mathrm{CSL} \setminus \mathrm{CFL}$

가정 : PDA와 유사하게 트랜지션 기능은 최상위 힙 기호를 사용하고 임의의 수의 힙 기호를 다시 씁니다. 힙은 처음에 다른 모든 힙 기호보다 큰 구별 기호 를 포함합니다.$\$$

하자 와 최소 힙을 기계적$A = (Q,\Sigma_I, \Sigma_H, \rightarrow, q_0, Q_F)$

• $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_f\}$ 상태 세트
• $\Sigma_I = \{a,b,c\}$ 입력 알파벳입니다.
• $\Sigma_H = {a,b,\$}$ 힙 알파벳을 순서로 정렬 .$a \lt b \lt \$$
• $Q_F = \{q_f\}$
• $\rightarrow\ \subseteq (Q \times \Sigma_I \times \Sigma_H) \times (Q \times \Sigma_H^*)$ 와
  • $(q_0,a,\sigma) \rightarrow (q_0, a\sigma)$모든 대해$\sigma \in \Sigma_H$
  • $(q_0,b,a) \rightarrow (q_1,b)$
  • $(q_1,b,a) \rightarrow (q_1,b)$
  • $(q_1,c,b) \rightarrow (q_2,\varepsilon)$
  • $(q_2,c,b) \rightarrow (q_2, \varepsilon)$
  • $(q_2,c,\$) \rightarrow (q_f, \varepsilon)$

오토 마톤은 입력의 모든 에 대해 하나의 를 힙에 기록 합니다. 때 발생, 많은으로 소비 가 있었다로 쓰기, 모든 발견을 위해 힙에 . 힙 편리하게 유지하기 때문에이 없습니다 방해 계산을 수행 상단에. 힙에서 모든 를 가져온 후에 만 허용됩니다. 단지 많은으로 후 로 (하고 그와 발견), 않습니다 빈 힙 및 최종 상태로 받아들입니다.$a$$a$$b$$b$$a$$b$$b$$a$$a$$c$$c$$b$$a$$A$

따라서 입니다.$\cal{L}(A) = L$

$\mathrm{CFL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$

답의이 부분은 유형 1에만 관련됩니다.

고려 에도 회문 세트와 HA 있다고 가정 함께 .$\mathrm{EPAL} = \{ww^R \mid w \in \{a,b\}\}$$A$$\cal{L}(A) = L$

: 우리는 , 및그런 동일한 상태이고, 판독 후 동일한 콘텐츠를 갖는다 힙 및 각각을. 마찬가지로 모두 허용 및 ,이 때문에도 수락 (및 이다), 모순을 .$w_1, w_2 \in \{a,b\}^*$$w_1 \neq w_2$$|w_1| = |w_2|$$A$$w_1$$w_2$$A$$w_1w_1^R$$w_2w_2^R$$w_1w_2^R \notin \mathrm{EPAL}$$w_2w_1^R$$\cal{L}(A) = \mathrm{EPAL}$

$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$

답의이 부분은 타입 -1과 타입 -2와 관련이 있습니다.

(유형 -1) 에서 사용한 것과 동일한 추론을 사용 하여 상황에 맞는 언어 가 . { w w ∣ w ∈ { a , b } ∗ } H A $\mathrm{EPAL}$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{HAL}$

$\mathrm{HAL} \overset{?}{\subseteq} \mathrm{CSL}$

이것은 여전히 ​​유형 1과 유형 2 모두에 열려 있습니다.

추가 팩 토이 드

HA는 Embedded Pushdown Automata에 의해 허용되는 약한 상황 에 맞는 언어 의 하위 집합과 직교 인 것 같습니다 . HA는 제한된 수의 스택 스택을 시뮬레이트 할 수 있지만 임의로 많은 수의 EPA처럼 시뮬레이트 할 수는 없습니다. 그러나 HA는 현재 맨 위에 있지 않은 스택의 최상위 심볼 (EPA에서는 불가능)에 액세스 할 수 있습니다.