플레이어가 늦게 참여할 때 공정한 케이크 절단

공정한 케이크 절단 문제 에 대한 일반적인 진술은 모든 명의 플레이어가 동시에 점유율을 얻는 것으로 가정합니다 . 그러나 많은 경우 플레이어가 점차적으로 도착합니다. 예를 들어, 케이크를 명의 플레이어로 나눌 수 있지만, 새로운 플레이어가 도착하여 공유를 원합니다.$n$$n$

일반적으로 공정한 케이크 분할에는 많은 수의 노력이 필요합니다 (예를 들어 플레이어가 많은 쿼리에 응답해야 함). 특히 플레이어 수가 많은 경우.

최소한의 추가 노력으로 (예 : 케이크를 처음부터 다시 분배하는 것보다 실질적으로 적은 노력으로) 플레이어 에게 케이크의 새로운 분할을 생성하기 위해 플레이어 이상의 기존 케이크 분할을 사용할 수 있습니까?n + $n$$n+1$

나는 당신의 질문에 대한 정답을 제공 할 수 없다고 미리 말할 것입니다 (가능한 경우 연구 논문을 얻을 수 있다고 생각합니다).하지만 문제를 공식적으로 정의하고 일부를 진술함으로써 도움을 줄 수 있다고 생각합니다 어려움의 거짓말.

배경 . 케이크 절단 모델을 명확하게 설명하겠습니다. 우리 는 플레이어 사이 의 간격 을 나누고 싶습니다 . 각 플레이어 는 케이크의 서브 세트 에 대한 평가 함수 를 갖는다 . 이 함수는 확률 측정이라고 가정합니다. 이 음수 첨가제이다 (이산위한 , ) 및 . 이 문제에 대한 해결책 은 플레이어를 쿼리하고 간격의 일부를 할당 하는 프로토콜 또는 알고리즘입니다. 플레이어는 질문에 대한 답을 잘못보고하거나 거짓말을 할 수 있습니다.n i v i ( S ) S A , B ⊆ [ 0 , 1 ] v i ( A ∪ B ) = v i ( A ) + v i ( B ) v i ( [ 0 , 1 ] ) = $[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

일부 논문에는보다 구체적인 제한이 있습니다. 예를 들어 , 평가 함수는 연속적이거나, 조각 단위 선형이거나, 조각 단위 상수입니다.

플레이어에게 할당 된 조각을 . 우리는 종종 다음과 같은 프로토콜 속성을 원합니다.$\{S_1,\dots,S_n\}$

• 비례 : 모든 플레이어 는 이상의 값을 받도록 보장하는 전략을 가지고 있습니다. ( 의 관점에서 볼 때 케이크의 총 가치의 을 얻습니다 .)$i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• 질투 - 여수는 : 모든 플레이어는 전략을 가지고 것이 보증 다른 모든 플레이어를위한 . (모든 플레이어는 자신의 작품을 다른 플레이어의 작품보다 선호합니다.)$v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

부러움이 없음은 비례 성을 의미합니다.

몇 조각으로 절단, 다항식 실행 시간 (또는 실제로 계산 / 구성 가능성)과 같이 우리가 원하는 "작동"속성도 있습니다. 우리는 선택의 공리를 사용하여 케이크의 하위 집합을 선택하고 싶지 않습니다! ), 등등.

구체적인 질문이 있습니다. 두 노트. 먼저, 귀하의 질문에 대한 답변은 일반적인 문제를 해결합니다. 먼저 전체 케이크를 플레이어 에 제공 한 다음 다른 플레이어가 온라인에 도착하여이 프로토콜을 반복적으로 적용하십시오. 따라서이 문제가 적용되는 표준 케이크 절단 설정보다 더 어려울 것으로 예상됩니다.$1$

두 번째로, 우리는 모든 케이크를 모두로부터 가져 와서 알려진 알고리즘을 사용하여 처음부터 다시 배포함으로써 문제를 항상 해결할 수 있습니다. 따라서 문제는 다소 우아한 방법이 있는지 여부입니다. 나는 이것을 재분배하는 데 처음부터 시작하는 것보다 적은 시간 또는 더 적은 컷이 필요한 경우 및 / 또는 플레이어가 현재 슬라이스의 상당 부분을 유지할 수있을 때라고 생각합니다.

1. 명의 플레이어 에게 부러워하지 않는 할당이 있다고 가정 합니다. 플레이어 들에게 부러워하지 않는 할당을 어떻게 재분배 합니까?$n$$n+1$

나는 이것이 매우 어렵다고 생각한다. 부러워하지 않고 효율적인 할당을 찾는 것이 이미 어려운 문제이기 때문입니다. 내가 아는 한, 알려진 프로토콜은 케이크를 무제한으로 잘라야 할 수 있으며 매우 복잡합니다. (Brams and Taylor, Envy-Free Cake Division Protocol , 1995 참조) 따라서 전체 케이크를 모든 사람에게서 가져 와서 Brams-Taylor를 사용하여 에이전트 에게 재분배하는 것보다 더 좋은 것은 없습니다 .$n+1$

1. 대한 비례 할당이 있다고 가정하자 . 대한 비례 할당을 얻기 위해 어떻게 재분배 합니까?$n$$n+1$

나는 이것이 여전히 어렵다고 생각합니다 (더 많은 것이 가능하지만). 모든 플레이어가 케이크를 균일하게 평가하고 모든 플레이어가 크기의 슬라이스를 갖는 경우를 고려하십시오 . 그런 다음 새로운 플레이어가 무엇을 하든지 모두에게 전환해야합니다. 또 다른 나쁜 경우가 있습니다. 플레이어 의 슬라이스 값 이 정확히 이지만 플레이어 의 슬라이스 값이 합니다. 한다고 가정 플레이어 정확히에서 값은 자신의 조각 하지만 값 플레이어 '에서의 슬라이스 등, 플레이어 에서 자신의 조각을 소중히 및 플레이어 의 조각' ...에서$1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$ . 이제 새로운 플레이어가 도착합니다. 새로운 플레이어가 원하는 것을 상관없이, 당신의 프로토콜은 플레이어의 개편 뭔가를 가지고 끝날 것 플레이어 플레이어, 플레이어 등$2$$1$$3$$2$

알고리즘 결정 이론 2011 (PDF 링크) 에서 Walsh ( 온라인 케이크 절단 )를 참조 할 수 있습니다 . 그러나 나는 종이가 우리가 도착한 에이전트의 수를 미리 알고 있다고 가정하고, 플레이어가 떠날 때 (프로토콜이 끝나기 전에) 정확하게 조각을 할당해야한다고 가정하므로 실제로는 귀하의 문제에 해당되지 않습니다.

비례를 유지하는 비례 할당을 재분배하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 현재의 명의 선수 각각이 자신이 할당 한 케이크 한 조각을 자신이 동등하게 소중히하는 개의 조각으로 자르도록하십시오. 플레이어 는 이제 플레이어의 각 컷 에서 최고의 작품을 선택합니다 . 결과 할당도 비례임을 쉽게 알 수 있습니다.$n$$n+1$$n+1$$n$

케이크 / 면적이 반경이 원 가정합니다 . 그 후, 우리는 만들 수 정규 케이크 절단 공정 조각 따라서 각 플레이어에게 할당 영역 . 그런 다음 중앙 주위에 번째 작은 원 을 할당 할 수 있으며, 그 다음으로 새로운 플레이어가 그 주위를 맴 돕니 다 (내부 원을 삼키는 등). 이런 식으로, 모든 플레이어는 하나의 인접한 조각 / 플롯을 얻습니다.이 조각은 첫 번째 플레이어 에 대해 모노톤 방식으로 축소되고 나중에 참여하는 사람들의 중심으로 이동합니다.$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

숫자를 계산하는 것은 간단합니다. 첫 번째 새로운 플레이어의 경우 간단히 해결

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

그의 음모에 대한 반경을 얻을 수 있습니다. 두 번째로 해결

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

새로운 플레이어 모두를 위해 (외부) 반경을 얻는 것 등. 명의 추가 플레이어가 합류 한 후 플레이어 가 외부 반지름 을 얻는 것 같지만이를 증명하지 못했습니다.r i = r $n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

이것은 이고 .k = 0 , 1 , 2 , $n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ 출처 ]}

면이있는 일반 다각형에 대해서도 같은 아이디어가 적용됩니다 . 사각형을 기본 형식으로 가정하면 첫 번째 동일한 크기의 열과 다음 플레이어 행 을 할당하여 비슷한 작업을 수행 할 수 있습니다 (한쪽에서 시작).$n$$n$