의 문맥 자유 언어입니다

문맥이없는 언어는 보완 없이 닫히지 않습니다 .

내가 이해 하는 한 , 일부 문자 a , b 의 의 일부인 문맥없는 언어는 보완 (!?)으로 닫힙니다.$a^*b^*$$a,b$

여기 내 주장이 있습니다. 각 CF 언어 $L$ 에는 반 선형 Parikh 이미지 $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$ 있습니다. 반 선형 세트는 보수로 닫힙니다. 반 선형 집합을 나타내는 벡터 집합을 선형 문법으로 쉽게 변환 할 수 있습니다.

질문. 이 사실에 쉽게 접근 할 수있는 참조가 있습니까?

기술적으로 이러한 언어를 경계 (bounded ) 라고합니다 . 즉 일부 단어 w 1 , … , w k 의 경우 의 하위 집합입니다 .$w_1^* \dots w_k^*$$w_1,\dots,w_k$

이 질문에 대한 나의 동기 는 { a n b m ∣ n 2 ≠ m } 의 문맥 자유도에 관한 최근의 질문 에서 나온 것 입니다. a * b * 내의 보체는 다루기가 더 쉬운 것 같습니다.$\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$$a^*b^*$

한정된 문맥이없는 언어의 특징은 긴스 버그 ( "문맥이없는 언어의 수학적 이론")에 의한 것이며, 그의 책에서 Corollary 5.3.1로 나타납니다. 일반적으로 에는 반 선형 세트에 대한 제한이 있지만 k ≤ 2에 대해서는 이러한 제한이 항상 충족되므로 이러한 언어의 보완 ( w * 1 w * 2 이내 )에 컨텍스트가없는 것으로 추론하는 것이 간단합니다 .$k$$k \leq 2$$w_1^* w_2^*$

긴스 버그는 그의 책에서 이러한 의미를 언급합니다.

5.6.1 및 M 2 가 [문맥이없는] 언어, w 1 및 w 2 단어이면 M 1 ∩ M 2 는 [문맥이없는] 언어입니다.$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1\cap M_2$

목록 5.6.2 및 M 2 가 [문맥이없는] 언어, w 1 및 w 2 단어 인 경우 M 1 - M 2 및 M 2 - M 1 은 [문맥이없는] 언어.$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1 - M_2$$M_2-M_1$

또 다른 증거는 이 답변 에서 입증 된 다음 특성을 사용합니다 .

언어 이다 문맥 자유 IFF의 A는 Presburger 연산의 정의이다.$\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$$A$

분명히 Presburger 산술 IFF에서 정의입니다 ¯ A가 Presburger 연산의 정의입니다.$A$$\overline{A}$

$L_i \subseteq a^*b^*$