너비 우선 검색이 제 시간에 실행되는 이유

그래프 에서 너비 우선 탐색 (BFS)의 실행 시간 이 라고 종종 언급됩니다 (예 : Wikipedia . 그러나 연결된 그래프에는 있으며 연결되지 않은 그래프에서도 BFS는 시작 정점을 포함하는 구성 요소 외부의 정점을 절대로 보지 않습니다. 해당 구성 요소에는 최대 모서리를 포함하므로 최대 정점이 포함되며 알고리즘이 방문 할 유일한 정점입니다.$G=(V,E)$$O(|V|+|E|)$$|V|\leq |E|+1$$|E|$$|E|+1$

이것은 이므로 실행 시간이 단지 라고 말하지 않겠습니까?$|V|+|E|\leq 2|E|+1$$O(|E|)$

_{이것은 Disjkstra의 알고리즘 실행 시간에 관한 질문에 대한 의견으로 나타났습니다 .}

BFS는 일반적으로 다음과 같습니다 ( Wikipedia에서 ).

 1  procedure BFS(G,start_v):
 2      let Q be a queue
 3      label start_v as discovered
 4      Q.enqueue(start_v)
 5      while Q is not empty
 6          v = Q.dequeue()
 7          if v is the goal:
 8              return v
 9          for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do
10             if w is not labeled as discovered:
11                 label w as discovered
12                 w.parent = v
13                 Q.enqueue(w)

이 문제는 다소 미묘한 문제입니다. 3 행에 숨어 있습니다! 문제는 어떤 정점이 발견되었는지 저장하기 위해 어떤 데이터 구조를 사용할 것인가입니다.

가장 간단한 해결책은 꼭짓점 당 하나의 항목으로 부울 배열을 사용하는 것입니다. 이 경우 배열의 모든 요소를 ​​초기화해야 false하며 시간이 걸립니다.$\Theta(|V|)$. 이것은 모서리가 전혀 없어도 모든 그래프에 적용되므로 관계를 가정 할 수 없습니다$|V|$ 과 $|E|$ 우리는 러닝 타임을 얻는다 $O(|V|+|E|)$.

데이터 구조를 피할 수 있습니까? $\Theta(|V|)$초기화 시간? 첫 번째 시도는 링크 된 목록을 사용하는 것입니다. 그러나 이제 정점이 발견되었는지 테스트하면 (10 행) 이전과 같이 일정 시간이 아닌 방문한 정점 수에서 선형으로 시간이 걸립니다. 이것은 러닝 타임이$O(|V|\,|E|)$최악의 경우 훨씬 더 나쁩니다. (우리는 그것을 다음과 같이 다시 쓰고 싶지 않습니다.$O(|E|^2)$ 그것은 더 나쁘기 때문에 : 그것은만큼 나쁠 수 있습니다. $|V|^4$반면에 $|V|\,|E|\leq |V|^3$.)

동적으로 크기가 조정 된 배열을 사용하면 목록을 정렬 된 상태로 유지할 수 있으므로 조회에는 시간이 걸립니다. $O(\log|V|)$ 그러나 그것은 여전히 ​​실행 시간을 제공합니다 $O(|E|\log|V|)$여전히 표준보다 나쁩니다.

마지막으로 동적 크기의 해시 테이블을 사용할 수 있습니다. 일정한 크기의 테이블로 시작하십시오. $c$반이 가득 찰 때마다 두 배로 늘립니다. 즉, 테이블의 최종 크기는 알고리즘이 종료되기 전에 발견되는 정점 수의 최대 두 배이며 최대 크기입니다.$|E|+1$시작 정점의 구성 요소 외부에서는 아무것도 발견하지 못하기 때문입니다. 또한 해시 테이블을 복사하여 확장 한 총 작업량은 최대입니다.$c + 2c + 4c + \dots + 2|E|\leq 4|E|$. 해시 테이블에 대한 조회 및 삽입이 상각됩니다. $O(1)$ 그래서 우리는 실제로 러닝 타임을 얻습니다. $O(|E|)$.

그래서 $O(|E|)$가능하지만 실제 구현에서 그렇게하고 싶습니까? 아마 그렇지 않을 것입니다. 입력 그래프에 많은 작은 구성 요소가 있다고 생각하지 않는 한 해시 테이블을 유지 관리하는 오버 헤드로 인해 실행 시간에 눈에 띄는 일정한 요소가 추가됩니다. 해시 테이블을 성장시키는 데 시간이 걸릴 수 있습니다$4|E|$조회는 해시 함수를 계산하고 평균적으로 테이블에서 둘 이상의 슬롯을 확인해야합니다. 해시 테이블의 캐시 성능이 좋지 않으면 실제 컴퓨터에서 손상을 입을 수도 있습니다. 대부분의 경우 표준 배열 구현에서는$O(|E|)$ 부분은의 지배적 인 용어입니다 $O(|V|+|E|)$ 실행 시간이 많기 때문에 해시 테이블을 사용하여 지배적 인 용어를 제거하는 것은 가치가 없습니다.