DAG에서 두 정점 사이의 최단 경로 및 최단 경로 찾기

비가 중 DAG (방향성 비순환 그래프) $D = (V,A)$ 와 두 개의 꼭짓점 $s$ 및 $t$ 가 주어지면 다항식 시간 에서 $s$ 에서 까지 최단 경로와 최단 경로를 찾을 수 $t$ 있습니까? 경로 길이는 모서리 수로 측정됩니다.

다항식 시간으로 가능한 경로 길이 범위를 찾는 데 관심이 있습니다.

추신 :이 질문은 DAG에서 StackOverflow 질문 가장 긴 경로 의 복제입니다 .

— 로보 롤 버린
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답변:

가장 짧은 경로 문제의 경우 가중치를 신경 쓰지 않으면 먼저 첫 번째 검색 을 수행하는 것이 확실한 방법입니다. 그렇지 않으면 Dijkstra의 알고리즘 은 음의 가장자리가없는 한 작동합니다.

가장 긴 경로의 경우 모든 모서리 가중치를 무시한 상태에서 항상 Bellman-Ford 를 그래프에서 수행 할 수 있습니다. Bellman-Ford는 마이너스 웨이트 사이클이없는 한 작동하므로 DAG의 모든 웨이트와 함께 작동합니다.

— jmite
소스

Bellman-Ford 는 동적 프로그래밍 알고리즘입니다.

— Raphael

@Raphael 네,하지만 모든 에지 가중치를 부정하는 대신 최대 경로를 찾는 직접적인 DP 알고리즘이 있다고 생각합니다.

— jmite

@jmite : 물론, 왜 : Bellman-Ford를 온라인으로 전환하거나 최대한 활용하도록 변경하십시오.

— Raphael

그건 그렇고, NP- 완전 문제 Longest Path가 DAG의 P에 쉽게 있음을 직관적으로 확신하지 못합니다. 증거 / 참조 / 설명을 부탁드립니다.

— Raphael

또한 DAG를

$n = |V(G)|$ $m = |E(G)|$ $w(a \to b)$ $(a \to b)$ $s$ $t$

$b := t$

$b$ $\min(b)$ $\max(b)$ $b$
다음과 같이 및 를 결정하고 기록하십시오 . $\min(b)$ $\max(b)$
- 인 경우 . $b = s$ $\min(s) := \max(s) := 0$
- 그렇지 않으면 정점 무시 입니다. 에지 공집합 위에 최소 및 최대 값을 계산할 때 (인바운드 가장자리가 전혀 또는 전부 무시) 세트 . $\begin{aligned} min (b) & := min_{a \to b} [w (a \to b) + min (a)] \\ max (b) & := max_{a \to b} [w (a \to b) + max (a)] \end{aligned}$ $\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$ $b$ $\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

이 알고리즘이 시간에 실행되고 모든 정점 변수를 초기화하는 데 필요한 시간을 무시 한다는 것을 증명할 수 있어야 합니다. $O(m)$

— 닐 드 보드 랩
소스

이 재귀 "풀"방식은 실제로 일반적인 동적 "푸시"방식보다 느릴 수 있으며 재귀를 처리하려면 선형 크기의 스택이 필요합니다. 일반적인 접근 방식은 정점을 위상 순서대로 가져 와서 현재 노드의 각 인접 항목에 대한 중간 최소값과 최대 값을 향상시키는 것입니다. 모든 인바운드 에지가 이미이를 개선하는 데 사용되었으므로 현재 노드는 항상 최소 및 최대의 최종 값을 갖습니다.

— Palec