L = L (G)를 표시하는 방법?

공식 문법을 제공하여 공식 언어를 지정하는 것은 빈번한 작업입니다. 언어를 설명 할뿐만 아니라 언어를 구문 분석하거나 적절한 과학을 수행 하기 위해서는 문법이 필요합니다 . 모든 경우에 필요한 문법이 정확해야합니다 . 즉, 원하는 단어를 정확하게 생성하는 것입니다.

문법이 왜 원하는 언어를 적절히 표현하고 공식적인 증거를 생략했는지에 대한 높은 수준의 논쟁을 종종 할 수 있습니다. 그러나 어떤 이유로 의심이 가거나 공식적인 증거가 필요하다면 어떻게해야합니까? 우리가 적용 할 수있는 기술은 무엇입니까?

^{이것은 참조 질문 이 될 것 입니다. 따라서 적어도 하나의 예에 의해 설명되어 있지만 많은 상황을 다루는 일반적이고 교훈적으로 제시된 답변을 제공하도록주의하십시오. 감사!}

— 라파엘
소스

문법은 본질적으로 재귀 적 인 객체이므로 대답은 분명해 보입니다. 즉, 세부 사항은 종종 까다로워 까다 롭습니다. 후속편에서는 창의적인 전처리 과정이 수행되는 경우 문법 교정 증거를 기계적 단계로 줄일 수있는 기술에 대해 설명합니다. $\newcommand{\lang}[1]{\mathcal{L}(#1)} \newcommand{\sent}[1]{\vartheta(#1)} \newcommand{\derive}{\mathbin{\Rightarrow}} \newcommand{\derivestar}{\mathbin{\Rightarrow^*}} \newcommand{\nats}{\mathbb{N}}$

기본 아이디어는 자신을 문법과 언어의 단어 로 제한하지 않는 것 입니다. 이런 식으로 문법의 구조를 파악하기는 어렵습니다. 대신 문법으로 만들 수 있는 문장들 에 대해 논할 것 입니다. 또한, 하나의 어려운 증거 목표를 더 다루기 쉬운 많은 작은 목표로 나누겠습니다.

하자 이외의 단자와 형식 문법 단자 규칙 및 심볼부터 . 우리가 나타내는 로부터 유도 될 수있는 문장의 집합 주어진 이다 . 에 의해 생성 된 언어 는 입니다. 대해 임을 보여주고 싶다고 가정 해 봅시다 . $G=(N,T,\delta,S)$ $N$ $T$ $\delta$ $S \in N$ $\sent{G}$ $S$ $\delta$ $\alpha \in \sent{G} \iff S \derivestar \alpha$ $G$ $\lang{G} = \sent{G} \cap T^*$ $L = \lang{G}$ $L \subseteq T^*$

안사 츠

여기에 우리가 어떻게 하는가입니다. 우리는 정의 그래서 $M_1, \dots, M_k \subseteq (N \cup T)^*$

$\displaystyle \sent{G} = \bigcup_{i=1}^k M_i$ 및
$\displaystyle T^* \cap \bigcup_{i=1}^k M_i = L$ 입니다.

2. 정의에 의해 일반적으로 2.가 명확하지만 , 1. 심각한 작업이 필요합니다. 두 항목은 모두 원하는대로 을 의미합니다. $M_i$ $\lang{G} = L$

표기법을 쉽게하기 위해 표시하겠습니다 . $M = \bigcup_{i=1}^k M_i$

바위 같은 길

이러한 증명을 수행하기위한 두 가지 주요 단계가 있습니다.

(좋은) 를 찾는 방법 ? $M_i$
한 가지 전략은 문법이 작동하는 단계 를 조사 하는 것입니다. 모든 문법이이 아이디어를 따르는 것은 아닙니다. 일반적으로 이것은 창의적인 단계입니다. 문법을 스스로 정의 할 수 있다면 도움이됩니다. 약간의 경험이 있다면, 우리는이 접근법으로 문법을 더 다루기 쉽게 정의 할 수있을 것입니다.
1. 증명하는 방법?
설정된 동등성과 마찬가지로 두 가지 방향이 있습니다.
- $\sent{G} \subseteq M$ : 의 생산에 대한 (구조적) 유도 . $G$
- $M \subseteq \sent{G}$ : 일반적으로 가 포함 된 것부터 시작 하여 에 의한 하나의 유도 . $M_i$ $S$

이것은 얻을 수있는만큼 구체적입니다. 세부 사항은 문법과 언어에 따라 다릅니다.

예

언어를 고려

$\qquad \displaystyle L = \{ a^n b^n c^m \mid n,m \in \nats \}$

상기 문법 와 주어진 $G = (\{S,A\}, \{a,b,c\}, \delta, S)$ $\delta$

$\qquad \begin{align} S &\to Sc \mid A \\ A &\to aAb \mid \varepsilon \end{align}$

이를 위해 입니다. 이 문법이 작동하는 단계는 무엇입니까? 먼저 생성 한 다음 합니다. 이것은 우리가 선택한 즉, 즉 $L = \lang{G}$ $c^m$ $a^n b^n$ $M_i$

$\qquad \begin{align} M_0 &= \{Sc^m \mid m \in \nats \} \;, \\ M_1 &= \{ a^n A b^n c^m \mid m,n \in \nats \} \;, \\ M_2 &= \{ a^n b^n c^m \mid m,n \in \nats \} \;. \\ \end{align}$

로 및 , 항목 2. 이미 알아서한다. 1쪽으로, 우리는 발표 한대로 증거를 두 부분으로 나눕니다. $M_2 = L$ $M_0 \cap T^* = M_1 \cap T^* = \emptyset$

$\mathbf{\sent{G} \subseteq M}$

우리는 규칙에 따라 구조적 유도를 수행 합니다. $G$

IA : 이므로 성공적으로 고정됩니다. $S = Sc^0 \in M_0$

IH : 문장 세트에 대해 도 알고 있다고 가정합니다 . $X \subseteq \sent{G}$ $X \subseteq M$

IS : 임의로 시키십시오 . 형식 과 다음에 적용되는 규칙이 무엇 이든 보여 주어야합니다 . 그대로 두지 마십시오 . 우리는 완전한 대소 문자 구분을 통해이를 수행합니다. 귀납 가설을 통해 다음 사례 중 하나가 (정확하게) 적용된다는 것을 알고 있습니다. $\alpha \in X \subseteq \sent{G} \cap M$ $\alpha$ $M$

, 즉 일부 입니다 . 두 가지 규칙을 적용 할 수 있으며, 둘 다 에서 문장을 도출합니다 .
- $Sc^m \derive Sc^{m+1} \in M_0$ 및
- $Sc^m \derive Ac^m = a^0Ab^0c^m \in M_1$ .
, 즉 일부 :
- $w \derive a^{n+1}Ab^{n+1}c^m \in M_1$ 및
- $w \derive a^nb^nc^m \in M_2$ .
$w \in M_3$ : 이므로 더 이상 파생 할 수 없습니다. $w \in T^*$

우리는 모든 경우를 성공적으로 다루었으므로 유도가 완료되었습니다.

$\mathbf{\sent{G} \supseteq M}$

우리는 당 하나의 간단한 증거를 수행 합니다. "나중에" 가 "이전" 사용하여 고정 할 수 있도록 증명을 연결하는 방법에 유의하십시오 . $M_i$ $M_i$ $M_i$

$M_1$ : 고정 하고 단계에서 를 사용하여 대해 유도를 수행합니다 . $m$ $Sc^0 = S$ $S \to Sc$
$M_2$ : 을 임의의 값으로 고정 하고 이상을 유도 합니다. 우리 는 이전의 증거로 을 사용하여 에 고정합니다. 단계는 를 통해 진행됩니다 . $m$ $n$ $Ac^m$ $S \derivestar Sc^m \derive Ac^m$ $A \to aAb$
$M_3$ : 임의의 대해 대한 이전 증명을 사용합니다 . $m,n \in \nats$ $S \derivestar a^nAb^nc^m \derive a^nb^nc^m$

이것으로 증명 1의 두 번째 방향이 끝났습니다.

우리는 문법이 선형 이라는 것을 크게 이용한다는 것을 알 수 있습니다 . 비선형 문법의 경우 증거가 여러 개있는 변수 매개 변수 가있는 가 필요합니다 . 문법을 제어 할 수 있으면 문법을 단순하게 유지하도록 지시합니다. 와 동등한이 문법을 막는 예제로 고려하십시오 . $M_i$ $G$

$\qquad \begin{align} S &\to aAbC \mid \varepsilon \\ A &\to aAb \mid \varepsilon \\ C &\to cC \mid \varepsilon \end{align}$

운동

문법을 주다

$\qquad L = \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \nats, k \neq o, 2l = n, m \geq 2 \}$

정확성을 증명합니다.

문제가 있으면 문법 :

고려 의 제작과 $G = (\{S,B_r,B_l,A,C\}, \{a,b,c\}, \delta, S)$

$\quad \begin{align} S &\to bSb \mid B_l \mid B_r \\ B_l &\to bB_l \mid bA \\ B_r &\to B_r b \mid Ab \\ A &\to aAaa \mid C \\ C &\to bcC \mid bcbc \end{align}$

그리고 : $M_i$

$\quad\begin{align} M_0 &= \{ b^i S b^i \mid i \in \nats \} \\ M_1 &= \{ b^i B_l b^o \mid o \in \nats, i \geq o \} \\ M_2 &= \{ b^k B_r b^i \mid k \in \nats, i \geq k \} \\ M_3 &= \{ b^k a^i A a^{2i} b^o \mid k,o,i \in \nats, k \neq o \} \\ M_4 &= \{ b^k a^l (bc)^i C a^{2l} b^o \mid k,o,l,i \in \nats, k \neq o \} \\ M_5 &= L \end{align}$

비선형 문법은 어떻습니까?

문맥이없는 언어 클래스의 특징은 Dyck 언어입니다 . 기본적으로 모든 문맥이없는 언어는 Dyck 언어와 일반 언어의 교차로 표현 될 수 있습니다. 불행히도 Dyck 언어는 선형 적이 지 않습니다. 즉,이 접근법에 본질적으로 맞는 문법을 제공 할 수 없습니다.

물론 우리는 여전히 정의 하고 증거를 수행 할 수 있지만, 중첩 된 유도와 그렇지 않은 것이 더 어려울 수밖에 없습니다. 내가 아는 한 가지 일반적인 방법이 어느 정도 도움이 될 수 있습니다. ansatz를 변경하여 최소한 필요한 단어를 모두 생성하고 (길이 당) 올바른 단어를 생성한다는 것을 보여줍니다 . 공식적으로 우리는 $M_i$

$\displaystyle \sent{G} \supseteq L$ 및
$\displaystyle |\lang{G} \cap T^n| = |L \cap T^n|$ 모든 . $n \in \nats$

이런 식으로 문법의 복잡함을 무시하고 원래 ansatz에서 "쉬운"방향으로 제한하고 언어의 구조를 악용 할 수 있습니다. 물론, 무료 점심은 없습니다 : 우리 는 각각의 에 대해 생성 하는 단어를 세는 새로운 작업을 받습니다. 우리에게는 운이 좋으며, 이것은 종종 다루기 쉽다. 자세한 내용은 여기 와 여기 를 참조 하십시오 ¹. 내 학사 논문 에서 몇 가지 예를 찾을 수 있습니다 . $G$ $n \in \nats$

모호하고 문맥에 맞지 않는 문법의 경우, 우리는 ansatz one과 think caps로 돌아가는 것을 두려워합니다.

계산에 특정 방법을 사용할 때 문법이 명확하다는 보너스를 얻습니다. 결과적으로 이것은 우리가 2를 증명할 수 없기 때문에 기술이 모호한 문법에 실패해야 함을 의미합니다.

— 라파엘
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