세트의 파티션을 나타내는 간단한 방법은 무엇입니까?

세트 파티션을 나타내는 효율적인 데이터 구조 가 있습니다 . 이러한 데이터 구조는 Union 및 Find와 같은 작업에는 시간이 복잡하지만 특히 공간 효율적이지는 않습니다.

세트의 파티션을 나타내는 공간 효율적인 방법은 무엇입니까?

가능한 출발점은 다음과 같습니다.

요소가 있는 세트 의 파티션 수 는 번째 벨 번호 인 이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 요소 로 구성된 집합의 파티션을 나타내는 데 필요한 최적의 공간 복잡도 는 비트입니다. 이러한 표현을 찾기 위해 ( 요소 세트의 파티션 세트 )와 ( 에서 사이의 정수 세트) 사이의 일대일 맵핑 을 있습니다. $N$ $B_N$ $N$ $N$ $\log_2(B_N)$ $N$ $1$ $B_N$

계산하기에 효율적인 매핑이 있습니까? "효율적인"의 의미는 또는 시간 다항식에서이 간단한 표현을 조작하기 쉬운 표현 (예 : 목록 목록)으로 변환하려는 것 입니다. $N$ $\log_2(B_N)$

— 베르 잔
소스

궁금한 점은 은 정수가 파티션 번호를 나타내는 집합의 각 요소에 고유 한 정수를 할당하는 순진 / 자연 인코딩에서 얼마나 멀리 떨어져 있습니까? 어쩌면 그것은 "그다지 큰 차이"가 아닙니다 ...

\log_{2} (B_{N})

$\log_2(B_N)$

— vzn

아래의 되풀이 수식이 파생 된 방식을 사용하여 인코딩을 찾을 수 있습니다 이것은 요소를 포함하는 부분에 몇 개의 다른 요소가 있는지를 고려하여 증명됩니다 . 이 중 가 있으면 선택 항목과 나머지를 분할하기위한 선택 항목이 있습니다.

B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{k} .

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.$

n + 1

$n+1$

n - k

$n-k$

(\binom{n}{n - k}) = (\binom{n}{k})

$\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$

B_{k}

$B_k$

이를 사용하여 의 모든 파티션을 범위의 숫자 로 변환하는 재귀 알고리즘을 제공 할 수 있습니다 . I 이미 크기의 서브 세트로 변환하는 방법이 생각 의를 범위의 숫자 (이러한 알고리즘 Pascal의 재발 사용하여 같은 방식으로 고안 할 수 있습니다 . $n+1$ $0,\ldots,B_{n+1}-1$ $k$ $\{1,\ldots,n\}$ $0,\ldots,\binom{n}{k}-1$ $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$

포함 하는 부분 에 다른 요소 가 있다고 가정하십시오 . 코드 찾으십시오 . 나머지 모든 요소를 해당 범위로 "압축"하여 의 파티션을 계산하십시오 . 재귀 적으로 코드 계산하십시오 . 새 코드는 $n+1$ $k$ $C_1$ $\{1,\ldots,n-k\}$ $C_2$

C = \sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} + C_{1} B_{n - k} + C_{2} .

$C = \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l + C_1 B_{n-k} + C_2.$

코드 주어진 다른 방향에서 , 고유 찾을 되도록 및 정의 이후 ,이 같이 쓸 수있다 , 여기서 . 이제 은 포함하는 부분의 요소를 코딩 하고 는 의 파티션을 코딩합니다. $C$ $k$

\sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} \leq C < \sum_{l = 0}^{n - k} (\binom{n}{l}) B_{l},

$\sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l \leq C < \sum_{l=0}^{n-k} \binom{n}{l} B_l,$

C^{'} = C - \sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} .

$C' = C - \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l.$

0 \leq C^{'} < (\binom{n}{k}) B_{n - k}

$0 \leq C' < \binom{n}{k} B_{n-k}$

C_{1} B_{n - k} + C_{2}

$C_1 B_{n-k} + C_2$

0 \leq C_{2} < B_{n - k}

$0 \leq C_2 < B_{n-k}$

C_{1}

$C_1$

n + 1

$n+1$

C_{2}

$C_2$

{1, \dots, n - k}

$\{1,\ldots,n-k\}$ 재귀 적으로 디코딩 할 수 있습니다. 디코딩을 완료하려면 후자 파티션을 "압축 해제"하여 포함하는 부분에 나타나지 않는 모든 요소를 포함해야합니다 .

n + 1

$n+1$

다음은 동일한 기술을 사용하여 크기 의 하위 집합 를 재귀 적 으로 인코딩하는 방법 입니다. 경우 다음 코드는 이므로 가정하자 . 경우 다음하자 규범 수 크기의 서브셋으로, 의 ; 의 코드 는 입니다. 만약 , 을 크기 의 서브 세트로서 로하여 을 의 코드 라 하자 . 의 코드 $S$ $\{1,\ldots,n\}$ $k$ $k=0$ $0$ $k>0$ $n \in S$ $C_1$ $S \setminus \{n\}$ $k-1$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $S$ $C_1$ $n \notin S$ $C_1$ $S$ $k$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $S$ 인 . $C_1 + \binom{n-1}{k-1}$

코드 를 디코딩하기 위해 두 가지 경우가 있습니다. 경우 그런 다음 디코딩 서브 세트 의 크기의 , 그 코드 및 출력 . 그렇지 않은 경우, 디코딩 서브 세트 의 크기의 코드 , 출력 . $C$ $C < \binom{n-1}{k-1}$ $S'$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $k-1$ $C$ $S' \cup \{n\}$ $S'$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $k$ $C - \binom{n-1}{k-1}$ $S'$

— 유발 필름 러스
소스

훌륭한 답변; 감사합니다. 마이너 버그 : 상단의 재발 식의 증거 스케치, 나는 당신이 무슨 뜻 생각 "이 있습니다 대신들", "가 의 그"- 다음 나머지 요소로 분할 될 수 방법 .

n - k

$n - k$

k

$k$

k

$k$

B_{k}

$B_k$

— cberzan