임의의 표지를 정점 표지로 변환

평면 그래프 $G=(V,E)$ 지고, 가 각 에지가 길이 갖는 평면에 포함되는 것을 나타내 도록하자 . 또한 각 점 가 포함되어있는 점 들의 집합 가 있습니다. 또한, 임의의 지점에 대해 보유 에서 존재 함 까지의 측지선 거리 최대 하나에있다. (거리는 내에서 가장 짧은 거리로 측정됩니다 .) $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

I는 주어진 주장 할 상기 조건이 유지되는, I 쉽게 정점 커버로 변환하거나, 다르게 말하자면로 변환 할 수 동일한 카디널리티 세인트 어느 에 배치되는 (A)에서 정점 , 그리고 여전히 합니다. $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

내 접근 방식은 가장자리의 방향을 잡고 호의 끝 정점 에서 의 점을 이동하는 것이 었습니다 . 그러나 지금까지 나는 에서 를 산출하는 올바른 방향을 찾지 못했습니다 . $C$ $C'$ $C$

아무도 아이디어가 있습니까?

algorithms graph-theory set-cover

— 사용자 695652
소스

나는 문제를 잘 이해하지 못한다. "

"는 무엇을 의미합니까? 거리를 정확히 어떻게 측정합니까? 당신이 의미하는 경우

가장자리에 항상, 당신이 가장에서 거리에서, 양쪽 끝에 다음 모든 지점을 넣어 경우 것으로 보인다

, 즉 두 엔드 포인트 - - 그것에서 가장에서 거리에 아직

그것에서. 어떤 방향 으로든

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— 유발 Filmus

@Yuval Filmus

의 드로잉 아크 조단 인

즉 서브 세트의

는 점이 평면의 아무 곳이 아니라 도면에 포함되어야 함을 의미합니다. 거리는

의 측지 거리 , 즉 도면에서 두 점을 연결하는 최단 경로 로 측정됩니다 . 마지막 발언을 위해 4주기를 수행하고 첫 번째와 세 번째 가장자리의 중간에 두 점을 넣으십시오. 여기에는 전체 그래프가 포함되지만 이제 시계 방향 정점 끝점에서 한 점을 이동하고 시계 반대 방향 정점 끝점에서 한 점을 이동하면 덮지 않습니다.

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

에는 포인트 경우 의 가장자리의 중간 지점에 정확하게 거짓말을하지 , 그것은 각 지점을 연결하기에 충분 에서 가장 가까운 정점에 . 이것을 증명하기 위해 독자에게 연습으로 남겨 두겠습니다 (힌트 : 모순으로 증명). $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

반면에 점이 가장자리의 중간 점에 놓이면 반례를 제공 할 수 있습니다. $C$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

파란 선과 원은 이고 빨간 십자가는 입니다. $\mathcal{G}$ $C$

추가 편집 : 이중 연결 그래프가있는 예

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 흠
소스

반례에 감사드립니다. 그래프가 이중 연결되도록 제한하면 모든 점이 중간에 있더라도 주장이 사실이라는 데 동의하십니까?

— user695652

나는 이중 연결이 당신을 구할 것이라고 생각하지 않습니다. 새로운 예를 들어 답변을 편집했습니다.

— mhum

이것은 다소 다른 질문입니다. 별도로 게시하는 것이 좋습니다.

— mhum

@mhum 그래프는 어떻게 만들었습니까? 그것에 대한 프로그램이 있습니까?

— Tacet

@Tacet 나는 내가 어떻게했는지 정확히 기억하지 못한다. 첫 번째는 MS Paint 또는 GIMP 일 것입니다. 두 번째는 김프 또는 Geogebra 일 수 있습니다.

— mhum