주어진 길이의 정규 언어로 단어 수의 무증상

정규 언어 경우, c n ( L ) 은 길이 n의 L 에 있는 단어의 수입니다 . (일부 DFA의 주석이 달려 있지 않은 천이 행렬에 적용 조던 정규형하여 L을 ), 하나는 충분한위한 것을 보여줄 수 N , C , N ( L ) = k는 Σ를 난 = 1 P I ( N ) λ N I , P의 난을 복소수 다항식과 λ $L$$c_n(L)$$L$$n$$L$$n$

$$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$$ $P_i$$\lambda_i$복잡한 "고유 값"입니다. (소 들어 , 우리는 폼의 추가 조건이있다 C의 K [ N = K ] , [ N = K가 ] 인 경우에 및 그렇지. 적어도 크기 조던 블록이 대응 로를 고유 값 )$n$$C_k[n=k]$$[n=k]$$1$$n=k$$0$$k+1$$0$

이 표현은 이 무한대 인 경우 경우 일부 대해 임을 암시합니다 . 그러나 이것은 특허 적으로 거짓입니다. 짝수 길이의 모든 단어의 이상의 언어 의 경우 이지만 . 이것은 일부 및 모든 , 충분히 큰 m에 대해 c d m + a ( L ) = 0 또는 c d m + ac n ( L ) ~ C n k λ n C , λ > 0 L { 0 , 1 } c 2 n ( L ) = 2 2 n c 2 n + 1 ( L ) = 0 d a ∈ { 0 , … , d - 1 $L$$c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$$C,\lambda>0$$L$$\{0,1\}$$c_{2n}(L) = 2^{2n}$$c_{2n+1}(L) = 0$$d$$a \in \{0,\ldots,d-1\}$$c_{dm+a}(L) = 0$$m$ . 이것은Berstel의 증거를 나타내는Flajolet & Sedgewick(Theorem V.3)에서 증명되었습니다.$c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$

Flajolet과 Sedgewick이 제공 한 증거는 다소 기술적입니다. 실제로는 기술적 인면에서만 스케치 할 수 있습니다. Perron-Frobenius 이론을 사용하여 더 기본적인 증거를 시도했습니다. DFA의 전이 그래프를 digraph로 간주 할 수 있습니다. 이 그래프가 원시적이라면 결과는 페론-프로 베니 우스 정리에서 거의 직접적으로 따릅니다. 이중 음자 인덱스와 기약하지만 imprimitive 경우 , 다음 고려하여이 " r에 은 DFA (각각의 전이에 대응 승" R의 기호), 우리는 동일한 결과를 얻는다. 어려운 경우는 digraph가 환원 가능한 경우입니다. 강하게 연결된 구성 요소의 경로를 줄일 수 있으며 ∑ m 1 + 형식의 합계를 추정하여 결과를 얻습니다. $r$$r$$r$ (각 합계는 특정 방식으로 다른 구성 요소를 거치면서 단어를 받아들이는 특정 방법에 해당합니다.)이 합계는 차례로 가장 큰 항을 찾아서 추정 할 수 있으며, 이는mi∝logλi에 해당합니다. r번반복되는 모든 고유 값에 대해Θ(m r - 1 )의 추가 계수를 얻습니다.

$$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$$ $m_i \propto \log \lambda_i$$r$$\Theta(m^{r-1})$

증거는 거친 가장자리를 가지고 있습니다. 환원 가능한 경우, 우리는 점근선에서 까지의 용어를 위에서 언급 한 합계 로 전달한 다음 합계를 추정해야합니다.$C \lambda_i^m$

Flajolet과 Sedgewick의 증거는 아마도 더 단순하지만 초등 적입니다. 시작점은 의 합리적인 생성 함수 이며 극 크기 (!) 수에 대한 유도를 포함합니다. 기본 아이디어는 Berstel의 (보통 쉬운) 정리로 인해 최대 계수의 모든 고유 값이 (근사 적으로 계수로 정규화 된 경우) 통일의 근본이라는 것입니다. 적절한 d를 선택하고 길이 d m + a의 단어를 보면 이러한 모든 고유 값이 실제가됩니다. 분수 부분 확대를 고려하면 얻을 최대 계수 "살아남"의 고유치는 다음의 형식 인 점근 결정 경우 C , N $c_n(L)$$d$$dm+a$ . 그렇지 않으면, 우리는 (Hadamard 제품을 사용하여)이 길이의 단어에 해당하는 새로운 합리적인 생성 함수를 찾고 인수를 반복합니다. 위에서 언급 한 양은 계속해서 감소하고 있으며 결국에는 원하는 무증상을 발견합니다. d 유도 단계에서 발생하는 모든 것을 반영하기 위해 프로세스에서 성장해야 할 수도 있습니다.$Cn^k\lambda^n$$d$

의 점근 적 속성에 대한 간단하고 기본적인 증거가 있습니까 ?$c_n(L)$

스케치 한 논증은 Richard Stanley의 Enumerative Combinatorics, Transfer 1에서 Transfer-Matrix Method의 처리량 (link : pp 573; print : pp 500) 과 일치하는 것으로 보입니다 .

그는 생성 기능으로 시작하여, digraphs 및 허용 가능하고 금지 된 요소를 고려하여 압축을 풉니 다. 그런 다음 무료 모노 이드로 추상화하여 사용자가 증명하기 위해 제공 한 합계의 정제 된 버전을 사용합니다.

$B$$A^*$$B$$B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

그는 일부 응용 분야를 거친 후 수평 요철 폴리 아미노와 관련하여 Hadamard 제품에 대해 논의함으로써 섹션을 닫습니다.