복잡성 이론에서 "결정"과 "확인"의 차이점은 무엇입니까?

270 페이지 의 Michael Sipser의 계산 이론에서 그는 다음과 같이 씁니다.

P = 멤버쉽을 신속하게 결정할 수있는 언어 클래스.
NP = 회원 자격을 신속하게 확인할 수있는 언어 클래스.

"결정된"과 "확인 된"의 차이점은 무엇입니까?

멤버십 을 결정 하는 작업은 다음과 같습니다. 입력 주어지면 x ∈ L을 결정 하고 다음 함수를 계산합니다.$x$$x \in L$

$\qquad \displaystyle \chi_L(x) = \begin{cases}1 &x \in L \\ 0 & x\notin L\end{cases}$

다른 한편으로, 멤버십 을 확인 하는 임무 는 다음 과 같습니다 : 입력 와 멤버십 의 (제안 된) 증거 (또는 증인 )가 주어지면 해당 증거에 의해 x ∈ L 을 빠르게 확인하십시오 ¹.$x$$x\in L$

예를 들어 소인수 분해를 고려하십시오. 을 감안할 때 , 모든 주요 요인 계산 N을 . 주어진 한편, ( N , { i가 1 , ... , I가 케이 } ) , 확인하는 Π의 유전율 J = 1 I , J = N . 어느 것이 더 쉬운가요?$n \in \mathbb{N}$$n$$(n, \{i_1, \dots, i_k\})$$\prod_{j=1}^k i_j = n$

또 다른 예 : 가중 그래프 주어지면 가중치가 최대 k 인 해밀턴 원 (모든 노드를 방문)이 있는지 확인하십시오 . 반면에 ( G , ( v 1 , … , v n ) )) 경로가 맞는지 확인하십시오.$G = (V,E)$$k$$(G, (v_1, \dots, v_n))$ 정확히 한 번만 방문하는 모든 노드를 대부분에 무게가 K . 어느 것이 더 어렵습니까?$v_1 \to \dots \to v_n$$k$

1. 따라서 이지만 증거가 틀린 경우 "아니오"라고 말합니다 . 그러나 이러한 맥락에서 비 결정적 기계를 고려할 때 좋습니다. 올바른 증거를 추측 하고 (신속하게) 확인할 수있는 것이 중요합니다 .$x \in L$

효율성 문제를 무시하면 유추에 의한 차이점을 보여주는 또 다른 예가 있습니다. 우리는 정지 문제가 결정될 수 없다는 것을 알고 있습니다 . Turing 기계에 대한 코드 주어지면 기계가 입력없이 실행될 때 기계가 정지하는지 여부를 결정하는 효과적인 방법은 없습니다.$e$

그러나 기계 가 정지 하더라도 다른 사람에게 증명하기는 어렵지 않습니다 . 기계 가 정지하기 전에 얼마나 많은 단계를 수행하는지 알려주십시오. 그들은 많은 단계를 위해 기계를 작동시킬 수 있으며 당신이 진실을 말했는지 (물론 효율성 무시) 알 수 있습니다.

따라서 정지 튜링 기계 세트는 결정할 수 없지만 확인할 수는 있습니다. 멈추지 않는 기계에 대해서는 증명할 필요가 없습니다 . 검증은 회원 있다는 점에서 비대칭 의 설정이 (가) 검증 할 수 있으며, 회원 밖으로 세트의하지 않습니다.

P와 NP의 상황은 비슷합니다. 각 오브젝트되도록 교정하는 시스템있을 경우 언어 NP에 의 언어에 의해 둘러싸인 다수의 단계로 효율적으로 검증 할 수있다 (물체의 크기의 다항식에 의해 경계) 짧은 증거 (갖는다는 입력 크기의 다항식).

다른 한편으로, 임의의 객체가 객체의 크기에서 다항식에 의해 묶인 다수의 단계를 사용하여 언어에 있는지 여부를 알 수있는 방법이 있다면 언어는 P에있다. 이제 언어의 객체뿐만 아니라 임의의 입력에 대해 걱정해야합니다. 그러나이 문제는 대칭입니다. 언어가 P에 있으면 보완도 마찬가지입니다. 모든 NP 언어의 보완이 NP 언어인지에 대한 질문은 해결되지 않았습니다.

(이 비유는 NP 문제가 재설정과 같은 P 문제와 관련이 있음을 시사합니다. 다소 사실이지만 오해의 소지가있을 수 있습니다. 이는 반복적이고 공동적인 세트가 계산 가능하다는 기본 사실입니다. NP 및 Co-NP 인 모든 세트가 P에 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다.