TSP로 감소하는 지속적인 최적화 문제

유한 포인트 주어 졌다고 가정하자 . $p_1,p_2,..p_n$평면에 p n 을두고 p i를 통해 두 배로 구분 가능한 곡선 를 그리도록 요청했습니다 . p i = ( x i , y i ) 및 x i < x i + 1 이라고 가정하면 이 문제를 다음과 같이 공식화 할 수 있습니다.$C(P)$$p_i$$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

문제 1 (수레 쉬의 코멘트 편집에 응답하여) 결정 함수 X ( t ) , Y ( t ) 파라미터의 t 되도록 arclength의 L = ∫ [ t ∈ 0 , 1 ] $C^2$$x(t),y(t)$$t$ 가 최소화되고x(0)=x1,x(1)=xn이고 모든ti:x(ti)=xi에 대해y(ti)=yi).$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

문제 1이 NP-hard라는 것을 어떻게 증명합니까 (또는 반박합니까)?

NP 경도가 의심되는 이유 가정이 완화 되었다고 가정합니다 . 분명, 최소한의 arclength의 기능은의 외판원 투어 인 P 내가 '들. 아마도 C 2 제약으로 인해 문제가 훨씬 더 어려워 질까요?$C^2$$p_i$$C^2$

컨텍스트이 문제의 변형이 MSE 에 게시되었습니다 . 거기와 MO 모두에 대한 답변을받지 못했습니다 . 문제를 해결하는 것이 쉽지 않다는 것을 감안할 때, 나는 그것이 얼마나 어려운지를 확립하고 싶습니다.

차별화 요구 사항은 문제의 특성을 변경하지 않습니다. (연속성) 또는 C ∞ (무한 미분)을 요구하면 길이와 포인트가 동일한 순서에 대해 동일한 하한값을 제공하며 출장 세일즈맨 문제를 해결하는 것과 같습니다. .$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

TSP에 대한 솔루션이있는 경우 모든 점을 통과 하는 곡선이 있습니다. 반대로, 당신이 있다고 가정 C 0 모든 지점을 통과 유한 길이의 곡선을, 그리고하자 P는 σ ( 1 ) , ... , P는 σ ( N ) 는 점 통과하는 순서가 될 t 1 , ... , t n 해당 매개 변수 (곡선이 점을 두 번 이상 통과하는 경우 가능한 t 값 중 하나를 선택하십시오 ). 그런 다음 n 개의 세그먼트로 구성된 곡선 $\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$각 세그먼트에 대해 직선이 점을 연결하는 다른 곡선보다 짧기 때문에 더 짧습니다. 따라서 점의 모든 순서에 대해 최상의 곡선은 TSP 솔루션이며 TSP 솔루션은 점의 최상의 순서를 제공합니다.

의 지금 곡선을 요구하는 것이 될 것으로 보여 드리죠 (또는 C K 어떤을위한 K 포인트의 최적의 순서를 변경하지 않습니다). 전체 길이의 TSP 솔루션의 경우 ℓ 및 ε > 0 , 우리는 구석 구석, 즉 구축 올림 수 C를 ∞ 동일한 순서로 포인트를 통과 대부분에서의 길이가 곡선 ℓ가 + ε (명시 적 건설에 대한 의존을 대수 함수 및 e − 1 / t 2 는 범프 함수 를 정의하고 다음 과 같은 곡선 세그먼트 간의 매끄러운 연결 을 정의 합니다.$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$ 에 접속에서 X = 1 ; 이것을 명백하게하는 것은 지루하지만, 계산 가능하다); 따라서 C ∞ 곡선의 하한은 세그먼트 모음의 경우와 동일합니다 (일반적으로 하한에 도달하지 않음).$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ 에서의 X = 0 과 함께 Y = $y=0$$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$