평면 정규 언어

수업 시간에 한 학생이 모든 유한 한 오토마타가 가장자리를 넘지 않고 그릴 수 있는지 물었습니다 (모든 예제가 그랬던 것처럼 보입니다). 물론 대답은 부정적이다. 언어에 대한 명백한 자동화는 $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ 는 5 개의 노드에 대한 완전한 그래프 인 $K_5$ 의 구조를 갖습니다 . . 유발은 관련 언어 와 비슷한 구조 를 보여 주었다 .

내 질문은 다음과 같습니다. 이 언어에 대한 모든 유한 상태 자동 장치가 비평면 임을 어떻게 표시 합니까? Myhill-Nerode와 같은 특성화를 통해 아마도 언어 구조가 다이어그램에 존재한다는 것을 알 수있을 것입니다. 그러나 이것을 어떻게 정확하게 할 수 있습니까?

그렇게 할 수 있다면 "평면 정규 언어"의 특성이 있습니까?

이 언어의 모든 DFA가 비평면 인 것은 아닙니다.

비평면 언어는 다음과 같습니다.

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ 이 언어에 대한 평면 FSA를 사용하십시오. 도달 할 수없는 상태를 모두 제거해도 여전히 평면 그래프가 나타납니다. 도달 가능한 각 상태에는 6 개의 뚜렷한 나가는 모서리가 있으며, 이는 모든 평면 그래프가 최대 5의 정점을 갖는다는 알려진 사실과 모순됩니다.

이 개념은 이전에 연구되었습니다. (답을 알고 나면 구글 ...)

먼저 Book과 Chandra의 오래된 작품이 있으며 다음과 같은 초록이 있습니다.

개요. 모든 유한 상태 오토 마톤에 대해 평면 상태 그래프를 갖는 동등한 비 결정적 오토 마톤이 존재하는 것으로 나타났다. 그러나 평면 상태 그래프와 동등한 결정적 오토 마톤이없는 유한 상태 오토마타가 존재합니다.

주어진 예와 논쟁은 그의 대답에서 유발이 한 것입니다!

또한 그들은 이진 알파벳을 고려합니다.

2 문자 알파벳에 비해 35 개 상태의 본질적으로 비평면 결정 론적 오토 마톤이 있습니다.

이 작업은 Bonfante와 Deloup이 최근에 계속 진행했습니다. 그들은 토폴로지 임베딩을 고려합니다. 비공식적으로 그래프의 속은 가장자리를 교차하지 않고 그래프를 표면에 포함시키기 위해 추가해야하는 구멍의 수입니다. 속이 0 인 그래프는 평면입니다. 그런 다음 언어의 속은 언어에 대한 오토마타의 최소 속입니다.

정리 9 (Genus-Based Hierarchy). 임의로 큰 속의 규칙적인 언어가 있습니다.

"상태-최소 오토마타 대 속-최소 오토마타"섹션에서 결과가 발견되는데, 그 증거는 유발에 의해 주어진 첫 번째 예이다 (5 개 상태 K5 언어 평면을 만들기 위해 10 개 상태).

법안 7. 해당 최소 오토 마톤의 속보다 엄격하게 낮은 속을 가진 결정 론적 오토마타가 있습니다.

G.Bonfante, F.Deloup : 정규 언어의 속, 컴퓨터 과학의 수학적 구조, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . 또한 ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, Inherently Nonplanar Automata, Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745