컴퓨팅 매트릭스 파워의 복잡성

나는 계산에 관심이 '은의 승기 행렬 . 시간에 실행되는 행렬 곱셈 알고리즘이 있다고 가정 합니다. 그러면 시간에 을 쉽게 계산할 수 있습니다 . 더 적은 시간 복잡성으로이 문제를 해결할 수 있습니까? $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

일반적으로 매트릭스 항목은 반 링에서 나올 수 있지만 도움이되는 경우 추가 구조를 가정 할 수 있습니다.

참고 : 일반적으로 시간 에서 을 계산 하면 지수화를 위해 알고리즘이 제공됩니다. 그러나 많은 흥미로운 문제가 m = 인 행렬 지수의 특별한 경우로 축소 간단한 문제에 대해 동일한 것을 증명할 수 없었습니다. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— 시티 칸트
소스

행렬의 항목은 무엇입니까? 정수?

— Kaveh

일반적으로 항목은 반 반지에서 나올 수 있지만 도움이되는 경우 추가 구조를 가정 할 수 있습니다.

— Shitikanth

위의 제안 된 방법 (즉

) 에서 곱셈에서 제곱으로 축소를 얻을 수 없었습니다 . 그러나

작동합니다. 그러나 이것은

계산시

만 제공합니다 .

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— 시티 칸트

답변:

매트릭스 인 경우 diagonalizable는 다음 복용 시간에 수행 될 수 승 여기서, 대각 시간이다 . $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

세부 사항을 완성하기 위해 대각선 가있는 인 경우 $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

그리고 대각선의 각 요소 (각각 고유 값 )를 제곱으로 취함으로써 을 계산할 수 있습니다 . $D^n$ $A$ $n$

— 란 G.
소스

행렬이 대각 화 가능하더라도 고유 분해에 가장 잘 알려진 알고리즘은

시간이 걸립니다. Coppersmith-Winograd 알고리즘을 사용하여

계산을위한

알고리즘이 이미 있습니다 .

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— 시티 칸트

(1) 인용 한 시간은 Coppersmith-Winograd가 아닙니다. (2) 해당 형식의 모든 알고리즘은 링에서만 작동합니다. 그들은 당신의 질문에서 허용하는 것처럼 일반적인 반반에서는 작동하지 않습니다.

— Ryan Williams

한 가지 좋은 방법은 Singular Value Decomposition SVD 입니다. 전체 순위 의 실수 행렬 가 주어지면 SVD는이를 로 나눕니다. 여기서 는 시간 행렬 의 대각 행렬 입니다. SVD의 특성에 따라 이므로 대각 행렬 만 지수화하면되며 로 수행 할 수 있습니다. $n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ 시각. 수행 최종 승산 얻어 , 우리는 모두 그래서 작업. $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

주석 후 업데이트 요점은 SVD가 발견되면 자체 CW 알고리즘으로 계산하는 데 시간 만 소요 된다는 것입니다. 그러나 이것은 정말 거기 당신의 question.If 아닌 알고리즘은, 그것이 바로 변환 할 정수에 대한 알고리즘. 나는 그러한 것이 존재하지 않는다고 생각합니다. $O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
소스

Coppersmith–Winograd 알고리즘은

시간 에 두 행렬의 곱을 찾으므로 이미

계산을위한

알고리즘이 있습니다. 더 나은 행렬 곱셈 알고리즘을 요구하지 않고 특히

대해 이것이 개선 될 수 있는지 알고 싶습니다 .

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

— 시티 칸트

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

명시된 바와 같이 이것은 귀하의 질문에서 명확하지 않습니다.

— PKG