모든 정수 선형 프로그래밍 문제가 NP-Hard입니까?

내가 알기 로, 헝가리어 알고리즘이 다항식 시간-O (n ³ )으로 해결할 수 있기 때문에 할당 문제 는 P에 있습니다 . 또한 할당 문제는 정수 선형 프로그래밍 문제이지만 Wikipedia 페이지에 이것이 NP-Hard라고 표시되어 있습니다. 나에게 이것은 할당 문제가 NP-Hard에 있음을 의미합니다.

그러나 할당 문제는 P와 NP-Hard 모두에있을 수 없습니다. 그렇지 않으면 P는 NP와 같습니까? Wikipedia 페이지는 모든 ILP 문제를 해결하기위한 일반적인 알고리즘이 NP-Hard라는 것을 의미합니까? 다른 몇몇 출처는 ILP가 NP-Hard라고 말하면서 복잡성 클래스에 대한 전반적인 이해를 혼란스럽게합니다.

문제가 NP-Hard 인 경우 NP-Hard 인 해당 문제의 인스턴스 클래스가 있음을 의미합니다. 다항식 시간에 다른 특정 클래스의 인스턴스를 해결할 수 있습니다.

예를 들어 3 색 그래프를 찾는 문제를 생각해보십시오 . 잘 알려진 NP-Hard 문제입니다. 이제 인스턴스가 나무와 같은 그래프로 제한되어 있다고 상상해보십시오. 다항식 시간에 나무의 3 색을 쉽게 찾을 수 있습니다 (실제로 2 색을 찾을 수도 있습니다).

잠시 결정 문제를 고려하십시오. 결정 문제 ( ) 의 경도를 입증하는 방법은 NP- 하드로 알려진 다른 문제 ( ) 로부터 다항식 (Karp) 감소 를 고안하는 것이다. 이 축소에서는 문제 의 각 인스턴스 를 문제 의 인스턴스에 매핑 하는 함수 가 있음을 보여줍니다 . 는 의 예 인스턴스입니다. 는 의 예 입니다. 이것은 를 해결하는 것이 자체 를 해결하는 것보다 "적어도 어렵다"는 것을 의미 합니다.$P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

의 이미지 가 의 인스턴스 세트와 같을 필요는 없습니다 . 따라서 일부 인스턴스의 하위 집합으로 제한되는 문제 가 어렵지 않을 수 있습니다.$f$$P$$P$

원래 질문으로 돌아가려면

• 할당 문제는 다항식 시간으로 해결 될 수 있습니다. 즉, 할당 문제의 각 인스턴스에 대한 솔루션은 다항식 시간으로 계산 될 수 있습니다.
• ILP는 NP-Hard입니다. 일반적으로 ILP 문제에 대한 솔루션을 계산하기가 어려울 수 있습니다. 즉, 어려운 ILP 인스턴스가 있습니다.
• 다항식 시간으로 ILP의 일부 특정 사례를 해결할 수 있습니다.

아니요, 특별한 경우가 더 쉬울 수 있습니다.

예를 들어, 대해 주어지면이 IP를 고려하십시오 .$a_i \geq 0$$i \in [1..n]$

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

세인트 및 용 .$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

( 최적의 솔루션 에서는 불가피하게 중에서 최소값을 찾습니다 . 최소값을 찾는 것은 분명히 다항식 문제입니다.$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

다항식으로 해결할 수있는 문제를 IP로 모델링 할 수 있습니다. 그렇다고해서 문제가 NP-hard라는 것은 아닙니다. 이는 문제의 IP 모델을 풀기위한 알려진 다항식 알고리즘이 없음을 의미합니다 (P = NP가 아닌 경우).

제안한 바와 같이 할당 문제는 P이지만 IP 모델은 NP-hard입니다.

아니오, 특별한 종류의 정수 프로그램이 있습니다. 제약 행렬이 TUM (완전히 단일 모듈 형 행렬)이면 선형 프로그램으로 완화되어 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다.

할당 문제는 ILP가 아니라 LP 문제이므로 NP-hard가 아닙니다.