실제 확장 그래프를 실제로 구성하는 방법은 무엇입니까?

n 개의 정점의 작은 고정 d (예 : 3 또는 4)에 대해 d-regular expander graph를 구성해야합니다.

실제로 이것을 수행하는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까? 임의의 d- 정규 그래프를 구성하는 것은 확장기로 입증 되었습니까?

또한 확장기 및 지그재그 제품을 사용한 구성 인 Margulis 구성 및 Ramanujan 그래프에 대해서도 읽었습니다. Wikipedia는 훌륭하지만 매우 짧은 개요를 제공합니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 그러나 실제로 어떤 방법을 선택합니까?

나를 위해, 이러한 방법은 구현하기가 매우 복잡하고 특히 이해하기가 매우 복잡해 보입니다. d- 정규 확장기 그래프의 시퀀스를 실제로 생성하기위한 순열 등에 기반한 더 쉬운 방법이 없습니까?

d- 정규 이분 확장기 그래프를 구성하는 것이 더 쉬울까요?

나는 또 다른 질문이 있습니다 : 나쁜 d-regular 확장기의 가족은 어떻습니까? 그러한 개념이 의미가 있습니까? 확장기의 의미에서 가능한 한 나쁜 d- 정규 그래프 (물론 연결된) 패밀리를 구성 할 수 있습니까?

미리 감사드립니다.

— 사용자
소스

나열된 것보다 명백한 구성이 쉽지만 임의 그래프는 트릭을 수행하고 더 나은 매개 변수를 가져야합니다.

— Yuval Filmus

구조물의 이름이나 언급을 할 수 있습니까? 더 나은 매개 변수를 사용하면 더 나은 (가장자리) 확장을 의미합니다.

— user2145167

András는 내가 염두에 둔 예를 제시했지만 일반적으로 임의 그래프는 명시 적 구성보다 (거의 항상) 더 좋습니다. 가장자리 확장이 클뿐만 아니라 알고리즘에 유용한 다른 유사한 속성은 임의 그래프에 의해 자동으로 충족 될 수 있습니다.

— Yuval Filmus

좋아, 학위 3의 경우 András 예제 또는 임의 그래프가 내 응용 프로그램에 충분할 것 같습니다. 특히 랜덤 그래프와 관련하여 확장기가 아닌 3-reg 그래프 패밀리를 구성하는 것이 흥미로울 것입니다. 그러나 이것은 아마도 매우 어렵거나 불가능합니까?

— user2145167

의 연합을

s. 연결된 그래프를 원하면 각

에서 하나의 모서리를 제거하고 (다이아몬드 그래프라고하는 그래프 작성) 한 주기로 연결하십시오.

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— 유발 Filmus

답변:

자체 루프가있는 그래프가 마음에 들지 않으면 "가장 쉬운"확장기 제품군이 아마도 가장 일반적인 확장 기일 것입니다.

소수 소수 시작하여 에서 정점을 구성하십시오 . 모든 정점 에 대해 를 연결 하고 , 모듈로 $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ 합니다. 또한 연결 고유 정점에 되도록 $p$ $u$ $v$ . $uv \equiv 1 \mod p$

예를 들어, 패밀리의 7- 정점 그래프는 정점 주위에 정점이 번호가 매겨진 7-주기입니다. , 및 에 자체 루프가 있습니다 . 마지막으로, 화음이 합류합니다 $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

자세한 논의 및 참조는 /mathpro/124708/an-expander-graph 를 참조 하십시오 . CSTheory , Math.SE 및 MO 에서 "확장자"를 검색하면 더 자세한 포인터가 많이 있습니다 .

Yuval Filmus가 지적한 바와 같이, 임의의 구성은 일반적으로 더 나은 결과를 제공 할 가능성이 있지만 물론 확장기 (특히 작은 그래프의 경우)를 산출하지 못할 수 있습니다.

— 안드라 살 라몬
소스

발언 감사합니다. 나는 다른 사이트에서 확장기를 검색했지만 MO에서는 그렇지 않았지만 실제로 더 많은 결과가있는 것 같습니다.

— user2145167

임의의 정규 그래프가 확장기 whp라고 가정하면 (아래 링크 된 MATLAB 코드의 문서에 제공된 참조를 따르십시오), 나는 다음을 사용했습니다.

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29786-random-regular-generator/content/randRegGraph/createRandRegGraph.m

— 호다
소스