모노톤 부울 공식의 만족도 결정에 대한 NP- 완전성 입증

이 문제를 해결하려고 노력하고 있으며 실제로 고심하고 있습니다.

모노톤 부울 수식은 모두 리터럴 양성 명제 논리 수식이다. 예를 들어

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

모노톤 부울 함수입니다. 반면에

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

모노톤 부울 함수가 아닙니다.

이 문제에 대한 NP- 완전성을 어떻게 증명할 수 있습니까?

변수 이하가 로 설정된 경우 모노톤 부울 함수를 만족시킬 수 있는지 확인하십시오 .$k$$1$

분명히 모든 변수는 양수로 설정 될 수 있고, 사소한 것이기 때문에 양수로 설정된 변수 의 구속이있는 것입니다 .$k$

SAT에서 모노톤 부울 수식으로 줄이려고했습니다. 내가 시도한 한 가지는 모든 부정적인 리터럴에 더미 변수를 대체하는 것입니다. 예를 들어, 을 로 시도한 후 과 을 다른 값으로 설정 하려고했습니다 . 그래도이 작업을 수행 할 수 없었습니다.z 1 x 1 z $\neg x_1$$z_1$$x_1$$z_1$

보고있는 문제의 "부모"는 때때로 가중 만족도 (WSAT, 특히 매개 변수화 된 복잡성) 또는 Min-One (일반적으로 최적화 버전이지만 충분할 수 있음)이라고도합니다. 이러한 문제에는 정의 기능으로 " 최대 변수를 true로 설정"제한이 있습니다.$k$

모노톤 공식에 대한 제한은 실제로 놀랍게도 경도를 나타 내기 쉽기 때문에, 만족도 문제를 벗어난 것만 잠시만하면됩니다. SAT 인스턴스를 수정하지 않고 대신 DS (Dominating Set)로 시작합니다.

거기에서 얻을 수 있는지 확인하십시오. 스포일러에는 비트가 더 많지만 가능하면 피하십시오. NP 멤버십을 보여주지 않을 것입니다. 아무 문제가 없습니다.

인스턴스을 감안할 때 DS의 (즉, 우리가 최대 크기의 지배 세트 원하는 K 에 대한 G를 ), 우리는 예를 구성 할 수 있습니다 ( φ , K ) 공식 WSAT의 φ는 모노톤 CNF 식입니다 :$(G, k)$$k$$G$$(\phi,k)$$\phi$

기본 구성 :

$v\in V(G)$$v' \in \text{var}(\phi)$$v \in V(G)$$c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

증거의 스케치 :

$k$$k$$\phi$$k$$c_{v}$$v$

$z_i$$\neg x_i$$\phi$$\phi'$$\neg x_i$$z_i$$x_i \vee z_i$$k$$\phi'$$\phi$$k$$x_i \vee z_i$$\phi'$$k$$k$