교차로의 데이터 구조?

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다음 작업을 지원하는 (유한 접지 세트의) 집합 모음을 유지 관리하는 데이터 구조가 있습니까? 하위 선형 실행 시간을 주시겠습니까?

빈 세트를 초기화하십시오.
세트에 요소를 추가하십시오.
두 세트가 주어지면 교차하는지보고하십시오.

data-structures sets

— 다 웨이 황
소스

1

모든 데이터 구조가 유한 도메인으로 해당 작업을 지원할 수 있기 때문에 이것은 매우 일반적인 질문입니다. 좀 더 구체적으로 말씀해 주시겠습니까? 예 : 어떤 복잡한 작업이 필요한지, 어떤 작업을 수행하기 위해 기꺼이 희생

— 하시겠습니까?

13

각 세트가 다른 세트의 존재에 대한 레코드를 유지하고 총 세트를 갖는 경우 콜렉션의 데이터 구조 ( 예 : 이진 검색 트리 등 )를 검색 할 수있는 것으로 쉽게 변환 할 수 있습니다 . 시간의 두 집합의 교집합의 원소 . $s > 0$ $O(\log s)$

각 세트에는 완전히 정렬 된 세트의 고유 식별자가 있어야합니다. 세트의 이름을 로 명시 적으로 지정 하면 식별자가 색인 일 수 있습니다. $S_1, S_2, \ldots$
세트의 "레지스트리"를 구현해야합니다. 정의한 모든 세트의 콜렉션을 유지 보수하는 데이터 구조. 레지스트리는 검색 트리 데이터 구조로 구현되어 세트를 쉽게 검색 ( 예 : 세트를 삭제하려는 경우)하고 선형 시간 순회를 수행 할 수 있습니다.
각 세트 아닌 -도 다른 세트의 각각의 "인덱스"유지 복사 오히려 그하지만 다른 세트의 라벨에 의해 인덱스되는 데이터 구조. 이 인덱스는 각각의 세트에 대해 유지하기 위해 사용되는 의 모든 요소의 이진 검색 트리 . (두 세트 와 공유 하나는 검색 트리의 복사). $S_j$ $S_k$ $S_j \cap S_k$ $S_j$ $S_k$

초기화

세트의 초기화 구성 작업 요소의 트리를 초기화, (레지스트리에서 복사) 작업이 초기화로 세트에 대한 인덱스 와 당신과 같은 작업은 레지스트리 추가 횡단 다른 세트의 각각의 인덱스에 . 의 인덱스에서 나타내는 검색 트리를 만듭니다. $T = \varnothing$ $O(1)$ $O(s)$ $T$ $O(s \log s)$ $T$ $S_j$ $T$ $T \cap S_j = \varnothing$ 다른 세트 ; 우리의 인덱스에 대해 동일한 포인터를 복사 . $S_j$ $S_j$

세트 요소 추가 $T$

세트 를 추가하면 평소와 같이 시간 가 걸립니다 . 여기서 . 우리는 또한 각각의 다른 세트 에서 멤버쉽을 테스트 하는데, 시간 $x \in V$ $T$ $O(\log n_T)$ $n_T = |T|$ $x$ $S_1, S_2, \ldots$ 여기서은 유니버스의 크기 (또는 가장 큰 집합 )이고 는 레지스트리의 집합 수입니다. 각 세트를 들면 되도록 , 또한 삽입 세트에 대한 인덱스로 . 이러한 각각의 세트를 들면 ,이 걸리는 조회 시간을,

영형 (로그 엔_{{에스}_{1}} + 로그 엔_{{에스}_{2}} + \dots) \subseteq 영형 (에스 로그 엔),

$O(\log n_{S_1} + \log n_{S_2} + \cdots) \subseteq O(s \log n) ,$

n = | V |

$n = |V|$

S_{j}

$S_j$

s

$s$

S_{j}

$S_j$

x \in S_{j}

$x \in S_j$

x

$x$

S_{j} \cap T

$S_j \cap T$

S_{j}

$S_j$

O (\log s + \log n_{T})

$O(\log s + \log n_T)$

S_{j}

$S_j$ 인덱스에서

삽입하는

의

; 모든 세트에 걸쳐

이 얻어 시간

. 우리는 세트 수 있다고 가정하면

훨씬 우주의 크기보다

(우리가 가정하는 경우, 인

), 소자 삽입을위한 총 시간은이다

T

$T$

x

$x$

S_{j} \cap T

$S_j \cap T$

S_{1}, S_{2}, \dots

$S_1, S_2, \ldots$

O (s \log s + s \log n_{T})

$O(s \log s + s \log n_T)$

S_{j}

$S_j$

V

$V$

s ≪ n

$s \ll n$

O (s \log n)

$O(s \log n)$ .

세트에서 중복을 허용하지 않으면 멤버쉽 테스트를 취소하고 다른 세트 대한 삽입을 생략하여 의 경우 시간을 절약 할 수 있습니다 . 가 이미 존재 하는 경우 "삽입"은 단지 시간 만 걸립니다 . $x \in S$ $T$ $x$ $O(\log n_T)$

교차점 테스트

각 세트의 인덱스는 두 세트의 여부를 빠르게 평가 허용하기 위해 정확하게 유지 와 이 교차한다. 설정된 내용은 간단히 세트에 대한 인덱스를 선택하여 , 우리는 시간으로 결정할 수 여부 교차 , 그러나 또한 전체 세트를 포함하는 이진 트리 검색 할 . $S_j$ $S_k$ $S_j$ $S_k$ $O(\log s)$ $S_j$ $S_k$ $S_j \cap S_k$

요소 제거

집합 에서 요소 를 삭제하기 위해 자체 의 검색 트리 뿐만 아니라 색인 의 집합 에 대한 각 교차점 에서 요소 를 제거합니다 . 이것은 시간이 걸리는 여기서 . $x$ $T$ $T$ $S_j \cap T$ $S_j$ $O(s \log n_T)$ $n_T = |T|$

삭제 설정

레지스트리 검색 오버 헤드로 인해 많은 세트가있는 경우 더 이상 필요하지 않은 세트를 삭제하는 것이 좋습니다. 전체 레지스트리를 통과함으로써, 우리는 삭제 될 수 있습니다 다른 모든 세트의 인덱스에서 시간에 대표 검색 트리 삭제의 비용에 의해 지배, 다른 세트의 각각 , 여기서 . $S$ $S_j$ $O(sn_T)$ $S_j \cap T$ $S_j$ $n_T = |T|$

비고

일정한 수의 세트 만 구현할 것으로 예상되는 경우 위의 런타임은 다음과 같이 줄어 듭니다.

초기화 : $O(1)$
요소 삽입 : $O(\log n)$
교차로 테스트 (및 교차로 검색) : $O(1)$
요소 제거 : $O(\log n_T)$
삭제 설정 : $O(n_S)$

여기서 은 레지스트리에서 가장 큰 집합의 크기이며 작동중인 세트 에 대해 $n$ $n_T = |T|$ $T$

당신이 기대하는 경우 여기서 세트, 당신의 우주는 당신이 이러한 작업은 하위 선형 시간에 운영하려는 경우, 당신은 서로 다른 데이터 구조를해야 할 수도 있습니다. 그러나 교차점을 테스트하지 않을 세트 쌍이있는 경우 교차점을 테스트 할 세트를 포함하지 않고 세트의 색인 크기를 줄이거 나 둘 이상의 레지스트리를 사용할 수 있습니다 ( 교차점을 테스트 할 수있는 각 세트 모음마다 하나씩). 실제로 레지스트리는 각 세트의 쌍이 인덱스에서 서로의 레코드를 갖도록 중앙 집중식 제어를 원하는 경우에만 유용합니다. 경우에 따라 세트 의 초기화시 단순히 기록 하는 것이 실용적 일 수 있습니다. $O(|V|)$ $V$ $S$ 각각의 새로운 세트 는 와의 교차점 에 관심 이있는 다른 세트 의 인덱스에 임시 로 배치 됩니다. $T$ $S$

— 닐 드 보드 랩
소스

6

최악의 경우에도 선형 시간보다 짧은 시간 내에이를 수행 할 수있는 데이터 구조가 있습니다. http://research.microsoft.com/pubs/173795/vldb11intersection.pdf (및 해당 문서 참조)를 참조 하십시오 .

두 세트 S와 T의 교차점이 크고 S에 대한 사전이있는 경우 임의의 순서로 T의 요소를 검색하면 공통 요소가 빠르게 나타납니다. 가장 어려운 경우는 교점 크기가 0 또는 1 인 경우입니다.

— 라스무스 파우
소스

3

일반적으로 선택한 프로그래밍 언어는 고유 한 요소가있는 데이터 구조를 지원합니다. 일반적으로 트리, 해시 및 비트 마스크의 세 가지 접근 방식이 있습니다. 트리 요소는 비교 가능해야하고 해시 요소는 해시 가능해야하며 비트 마스크 요소는 정수로 변환 할 수있는 방법이 있어야합니다.

트리 세트는 O (log n)에서의 삽입과 최악의 경우 O (n log n)에서의 교차점 테스트를 지원합니다.

해시 세트는 Amortized O (1 * h)에서의 삽입을 지원합니다. 여기서 'h'는 해싱 알고리즘의 실행 시간이며 최악의 경우 O (n)의 교차 테스트입니다.

비트 마스크 세트는 일반적으로 트리 및 해시 세트와 같이 사용되지 않습니다.

— 칼 담 가드 아 스무 센
소스

2

이것은 괜찮은 것 스택 오버플로 대답하지만, 우리는 여기에 몇 가지 세부 싶습니다 방법 과 이유를 작동합니다.

— Raphael

3

귀하의 사례에서 오 탐지가 허용되는 경우 단일 해시 함수로 Bloom Filter 를 사용 합니다.

다음과 같이 구현할 수 있습니다.

빈 세트를 초기화

= 비트의 비트 배열, 모두 0으로 설정 됨 ( 은 가능한 요소 수에 따라 선택되어야 함) $B$ $n$ $n$

세트에 요소를 추가하십시오.

$B[hash(element)]=1$

두 세트 (B1, B2)가 주어지면 교차하는지 여부를보고하십시오.

체크하면 $B1$ $AND$ $B2$ $=$ $0$

복잡성

경우 너무 크지도 않고, 모든 작업은 . $n$ $O(1)$

— 그리 샤 바 인트라 우브
소스