일대일 정수 선형 프로그래밍 (ILP)에서 부울 논리 연산 표현

부울 값을 나타내는 일부 변수 가있는 정수 선형 프로그램 (ILP)이 있습니다. 의 정수가되도록 길게하도록 제한되는 0 또는 1 ( ).x i 0 ≤ x i ≤ $x_i$$x_i$$0 \le x_i \le 1$

선형 제약 조건을 사용하여 이러한 0/1 값 변수에 대해 부울 연산을 표현하고 싶습니다. 어떻게해야합니까?

보다 구체적으로, (부울 AND), (부울 OR) 및 (부울 NOT)을 설정 하고 . 0/1의 명백한 해석을 부울 값으로 사용하고 있습니다 : 0 = false, 1 = true. 가 원하는대로 와 관련 되도록 ILP 제약 조건을 어떻게 작성 합니까?y 2 = x 1 ∨ x 2 y 3 = ¬ x 1 y i x $y_1 = x_1 \land x_2$$y_2 = x_1 \lor x_2$$y_3 = \neg x_1$$y_i$$x_i$

(이것은 CircuitSAT에서 ILP 로의 축소를 요구하거나 SAT를 ILP로 표현하는 방법을 요구하는 것으로 볼 수 있지만 여기서는 위에 표시된 논리 연산을 인코딩하는 명확한 방법을보고 싶습니다.)

논리 AND : 선형 제약 조건 , , , . 여기서 은 정수로 제한됩니다. 이것은 원하는 관계를 강화합니다. ( 선형 불평등 만으로도 할 수 있다는 것은 매우 깔끔합니다 .)$y_1 \ge x_1 + x_2 - 1$$y_1 \le x_1$$y_1 \le x_2$$0 \le y_1 \le 1$$y_1$

논리 OR : 선형 제약 조건 , , , . 여기서 는 정수로 제한됩니다.$y_2 \le x_1 + x_2$$y_2 \ge x_1$$y_2 \ge x_2$$0 \le y_2 \le 1$$y_2$

논리 NOT : 사용하십시오 .$y_3 = 1-x_1$

논리적 의미는 : 표현하려면 (즉, ), 우리는 논리적 OR의 구성을 적용 할 수 있습니다. 특히 선형 제약 조건 , , , . 여기서 는 정수로 제한됩니다.$y_4 = (x_1 \Rightarrow x_2)$$y_4 = \neg x_1 \lor x_2$$y_4 \le 1-x_1 + x_2$$y_4 \ge 1-x_1$$y_4 \ge x_2$$0 \le y_4 \le 1$$y_4$

논리적 의미 : 가 유지해야 함을 나타내려면 및 가 이미 부울 값으로 제한되어 있다고 가정 할 때 선형 제약 조건 를 사용하면 됩니다.$x_1 \Rightarrow x_2$$x_1 \le x_2$$x_1$$x_2$

XOR은 : 표현할 (배타적 논리합의 및 ) 사용 선형 부등식 , , , , 여기서 는 정수로 제한됩니다.$y_5 = x_1 \oplus x_2$$x_1$$x_2$$y_5 \le x_1 + x_2$$y_5 \ge x_1-x_2$$y_5 \ge x_2-x_1$$y_5 \le 2-x_1-x_2$$0 \le y_5 \le 1$$y_5$

그리고 보너스로, 제로-원 (부울) 변수와 정수 변수가 혼합 된 문제를 공식화 할 때 도움이되는 기술이 하나 더 있습니다.

부울 (버전 1)에 출연 : 당신이 정수 변수가 있다고 가정하자 , 당신은 정의 할 되도록 의 경우 및 경우 . 추가로 알고 있다면 선형 부등식 , , . 그러나 이것은 의 상한과 하한을 알고있는 경우에만 작동합니다 . 또는상수 대해 (즉, )를 사용하면 여기에 설명 된 방법을 사용할 수 있습니다$x$$y$$y=1$$x \ne 0$$y=0$$x=0$$0 \le x \le U$$0 \le y \le 1$$y \le x$$x \le Uy$$x$$|x| \le U$$-U \le x \le U$$U$. 의 상한을 알고있는 경우에만 해당됩니다. .$|x|$

boolean으로 캐스트 (버전 2) : 같은 목표를 생각해 보자. 그러나 이제 우리는 의 상한을 모른다 . 그러나 알고 있다고 가정하십시오 . 다음은 선형 시스템에서 해당 제약 조건을 표현할 수있는 방법입니다. 먼저 새로운 정수 변수 도입하십시오 . 부등식 , , . 그런 다음 를 최소화하도록 목적 함수를 선택하십시오 . 목표 기능이없는 경우에만 작동합니다. 음수가 아닌 정수 변수 이 변수 를 부울로 캐스트하려는 경우 이면$x$$x \ge 0$$t$$0 \le y \le 1$$y \le x$$t=x-y$$t$$n$$x_1,\dots,x_n$$y_i=1$$x_i\ge 1$ 및 경우 , 다음을 도입 할 수 변수 불평등 , , 상기 목적 함수를 정의 을 최소화 합니다. 다시 말하지만 이것은 객관적인 함수를 정의 할 필요가 없습니다 (캐스트와 부울을 제외하고 결과 ILP의 타당성을 확인하고 변수의 일부 기능을 최소화 / 최대화하지 않으려는 경우).$y_i=0$$x_i=0$$n$$t_1,\dots,t_n$$0 \le y_i \le 1$$y_i \le x_i$$t_i=x_i-y_i$$t_1+\dots + t_n$

몇 가지 훌륭한 연습 문제와 실제 예제를 보려면 Formulating Integer Linear Programs : A Rogues 'Gallery를 추천 합니다.

논리적 AND 관계는 다른 솔루션에서와 같이 세 가지 제약 조건 대신 한 범위 제약 조건 으로 모델링 할 수 있습니다 . 따라서 세 가지 제약 조건 단일 범위 제약 조건 사용하여 작성할 수 있습니다. 마찬가지로 논리 OR의 경우 :

NOT의 경우, 그러한 개선 사항이 없습니다.

일반적으로 ( way AND)의 제약 조건은 OR의 경우와 유사하게 : n 0 ≤ ∑ x i − n y ≤ n − $y=x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$$n$0 ≤ n y − ∑ x i ≤ n −

XOR y = x1⊕x2에 대한 더 짧은 해결책을 찾았습니다 (x와 y는 이진 0, 1입니다)

한 줄만 : x1 + x2-2 * z = y (z는 정수임)