번호 할당

주어진 숫자 와 같이 에는 숫자 의 순열 인 되도록 $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

효율적인 알고리즘을 찾을 수 없어서이 문제를 해결합니다. 조합 문제인 것 같습니다. 비슷한 NP-Complete 문제를 찾을 수 없습니다. 이 문제가 알려진 NP 완료 문제처럼 보입니까, 아니면 다항식 알고리즘으로 해결할 수 있습니까?

np-complete decision-problem

— 그 프라임
소스

문제에 대해 진전을 보셨습니까?

— Yuval Filmus

나는 그 얘기를 깜빡 했네요

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

만족스러운 답변이없는 관련 문제 . (그것은 그들이 관련있는 방법 첫눈에 명확하지 않을 수도 있지만, 경우 , 문제의 순열 찾는 것과 같습니다 그래서 .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— 피터 쇼어

답변:

이 문제는 NP가 완전히 완료되었습니다.

모든 가 홀수 라고 가정하십시오 . 그러면 는 홀수이므로 및 중 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수 있습니다. 은 홀수이고 는 짝수 라고 가정 할 수 있습니다 . 시켜서 하고 , 우리는이 동등한 것을 보여줄 수있다 와 같이 숫자 두 개의 순열 및 를 요구합니다 . $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

이 문제는 NP- 완전한 것으로 알려져 있습니다. 볼 이 cstheory.se 문제 와이 W. 유, H. 호 헤베 인, 그리고 JK 렌 스트라의 종이 대답에서 참조합니다.

— 피터 쇼어
소스

여기에 당신을 시작하는 힌트가 있습니다 : 에서 모든 숫자의 합 이후 에서은 정확히 이므로 실제로 ,경우에만 솔루션을 사용할 수 있습니다등. 그래서 주어진우리가 알고있는등등합니다. 또한입니다. $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— 유발 필름 러스
소스

그렇다면

을 어떻게 선택해야 합니까? 해결책이 보이지 않습니다. 그러나

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

는 IF

분류되어, 우리는 알고

, 등. 이러한 기준이

과 함께 충분합니까? 그렇다면이 문제에 대한 간단한 알고리즘이있을 수 있습니다.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Peter Shor

네, 정렬되어 있습니다. 나는 이것을 사용하려고 노력할 것이다.

— gprime

@PeterShor 또한 반대 방향, 즉

등의 한계를 고려해야 합니다. 문제를 일화 적으로 살펴보면, 간단한 탐욕스러운 알고리즘이 솔루션이 존재하면 솔루션을 발견해야하고 존재하지 않을 때는 정확하게 실패하는 것으로 보이지만 문제를 입증하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp 2016 년

@ torquestomp : 당신은 좋은 지적을하고 있습니다. 실제로, 한 방향에서의 한계는 다른 방향에서의 한계를 의미하지만, 첫눈에 전혀 분명하지는 않습니다. 나는 비슷한 문제를 보았고 간단한 알고리즘을 알 수 없었습니다 (그러나이 기준의 아날로그가 실제로 충분하다고 생각했습니다).

— Peter Shor

일치하는 문제이므로 Edmond의 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있습니다. Wikipedia 참조

— 의지
소스

Stackexchange 아이디어는 합리적으로 가능한 완전한 Q & A를 갖도록하는 것입니다. 위키 백과에 대한 링크 이상으로 답변을 확장 할 수 있습니까?

— Luke Mathieson 2013 년

정교하게 할 수 있습니까? 나는 알고리즘을 어떻게 사용하여 내 질문을 해결할 수 있는지 알지 못한다.

— gprime

사실, 그것은 3- 매칭의 특별한 경우처럼 보입니다. 이것은 NP- 완료입니다. 그렇다고 OP 문제가 NP가 완료된 것은 아닙니다.

— 피터 쇼어

이분법 일치일까요? 내가 알아낼 수 있는지 확인하기 위해 3-matching을 살펴볼 것입니다. 감사!

— gprime