쓰레기통을 최소한의 움직임으로 채우는 것은 NP-hard입니까?

있다 쓰레기통과 공의 유형. 번째 빈 라벨 갖는다 에 대해 ,이 타입의 볼의 예상 번호 . $n$ $m$ $i$ $a_{i,j}$ $1\leq j\leq m$ $j$

유형의 볼로 시작 합니다. 유형의 각 볼 은 가중치 를 가지며 bin 가 가중치 볼을 빈에 . 이전 상태를 유지하는 볼의 분포를 실현 가능한 솔루션이라고합니다. $b_j$ $j$ $j$ $w_j$ $i$ $c_i$

bin 유형의 공이 있는 실행 가능한 솔루션을 고려 하면 비용은. 우리는 가능한 최소 비용의 솔루션을 찾고 싶습니다. $x_{i,j}$ $j$ $i$ $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}|$

에 제한이 없다면이 문제는 분명히 NP-hard 입니다. 부분합 합 문제는 실현 가능한 솔루션의 존재로 줄어 듭니다. $\{w_j\}$

그러나 가 모든 대해 을 나누는 조건을 추가하면 부분 집합 합계 축소가 더 이상 작동하지 않으므로 결과 문제가 NP-hard로 유지되는지 확실하지 않습니다. 실행 가능한 솔루션의 존재를 확인하는 데 시간 이 걸리지 만 질문 끝에 첨부) 최소 비용의 실행 가능한 솔루션은 아닙니다. $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ $O(n\,m)$

문제는 동등한 정수 프로그램 공식을 가지고 있습니다. 감안 대 : $a_{i,j},c_i,b_j,w_j$ $1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$

\begin{aligned} Minimize: & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} | a_{i, j} - x_{i, j} | \\ subject to: & \sum_{j = 1}^{m} x_{i, j} w_{j} = c_{i} for all 1 \leq i \leq n \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i, j} \leq b_{j} for all 1 \leq j \leq m \\ x_{i, j} \geq 0 for all 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m x_{i,j}w_j = c_i \text{ for all } 1\leq i\leq n\\ & \sum_{i=1}^n x_{i,j} \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ & x_{i,j}\geq 0 \text{ for all } 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$

내 질문은

가 모든 대해 을 나눌 때 위의 정수 프로그램은 NP-hard 입니까? $w_j$ $w_{j+1}$ $j$

시간에 실행 가능한 솔루션이 있는지 판별하는 알고리즘 $O(n\,m)$ :

정의 및 . 하자 때 remainer 수 로 나눈 . $w_{m+1}=w_m(\max_{j} c_j + 1)$ $d_j = w_{j+1}/w_j$ $a\%b$ $a$ $b$

이 존재하는 경우 $c_i$ 로 나누어 아니다 $w_1$ , 반환 "아니오 가능한 솔루션을". (불변의 $c_i$ 나누기 $w_j$ 는 항상 다음 루프에서 유지됩니다)
용 $j$ 에서 $1$ 행 $m$ :
1. $k \gets \sum_{i=1}^n (c_i/w_j)\%d_j$ . (최소 볼의 무게 $w_j$ 필요)
2. $b_j<k$ 인 경우 "가능한 해결책 없음"을 리턴하십시오.
3. $c_i \gets c_i - ((c_i/w_j)\% d_j)$ 모든 대해 . (무게의 필요한 볼의 최소 개수 ) $i$ $w_j$
4. $b_{j+1} \gets \lfloor (b_j-k)/d_j \rfloor$ . (작은 공을 큰 공으로 그룹화)
"가능한 해결책이있다"를 반환한다.

이고 가 s 인 특수한 경우에 대한 다항식 시간 솔루션 $n=1$ $w_j$ $2$

이고 모든 가 거듭 제곱 이면이 특별한 경우를 다항식 시간으로 해결할 수 있다는 것이 알려져 있습니다. $n=1$ $w_j$ $2$

\begin{aligned} Minimize: & \sum_{j = 1}^{m} | a_{j} - x_{j} | \\ subject to: & \sum_{j = 1}^{m} w_{j} x_{j} = c \\ 0 \leq x_{j} \leq b_{j} for all 1 \leq j \leq m \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{j=1}^m |a_j-x_j| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m w_j x_j = c\\ & 0 \leq x_j \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$

이 솔루션은 Yuzhou Gu 에 의해 암시되었으며 여기 에서 글을 볼 수 있습니다 .

complexity-theory np-hard integer-programming

— 차오 쉬
소스

일부 배경. 위의 문제는 제한이있는 배낭 문제입니다. 제약이 있거나없는 가장 효율적인 배낭 문제 해결 방법은 의사 다항식 시간 (여전히 NP-Hard)으로 해결할 수 있습니다. 변형에 대해서는 https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Definition을 참조 하십시오 . 이 변형의 첫 번째 제한은 배낭 (통)에 넣을 품목 (볼)의 값이 중요하지 않다는 것입니다. 그러면 문제는 배낭에 물건을 넣는 데 걸리는 시간으로 제한됩니다. 원래 문제는 가장 가치있는 품목을 가능한 한 짧은 시간 안에 배치해야합니다. 이 버전의 또 다른 제한은 가중치와 다른 모든 인수가 정수라는 것입니다. 그리고 관심의 제한은 가중치 $w_j$ 모든 대해 을 나눕니다 . 참고 : 배낭 백팩 문제는 다항식 시간으로 해결할 수 있지만 원래 문제에 대한 가장 실용적인 해결책은 제시하지 않습니다. 이 문제는 균등하게 분할되는 정수를 사용합니다 (합리적 솔루션 없음). 아마도 참조 배낭 문제로 큰 문제가 무엇입니까? . $w_{j+1}$ $j$

주된 질문은 아마도 "이 문제는 여전히 대응하는 다항식에 의해 바운드 될 문제가 NP-Hard 입니까? 가 바인드 되면 P에 있고 가 반드시 나눌 필요가없는 경우 NP- 하드 $w_j$ $i$ $w_j$ $w_j$ $w_{j+1}$ 균등하게 (가중은 단순히 임의 임), 모든 제한은이 문제의 복잡성을이 두 조건으로 제한합니다. 이러한 조건 (1. 항목-값 제한이없는 무작위 가중치 배낭 문제와 2. 항목-값 제한이없는 분할 가능한 무게 배낭 문제)은 가중치의 몫이 무작위 일 수 있기 때문에 복잡성을 줄이는 측면에서 서로 부정합니다 ( 특히 제한이없는 경우) 따라서 지수 시간 계산을 수행합니다 (이는 아래 예에 표시됨). 또한 때문에 분할 , 각 지수 대형화 $w_j$ $w_{j+1}$ $w_j$ $j$ . 이는 임의 가중치 항목 (단위 가중치가 모두 100 또는 50 이하 또는 10 미만의 단위 가중치로 제한 될 수있는 볼)을 사용하는 대신 시간 복잡성이 의 자릿수에 따라 달라 지기 때문입니다. 시험 분할, 지수입니다. $w_j$

그래서 네, 위의 정수 프로그램은 NP-하드 남아있는 경우에도 분할 모든 . $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ 그리고 이것은 쉽게 관찰됩니다.

실시 예 1 : 하게및두 자승. 상수가 2이므로 전체 문제가 2 차 시간에 해결됩니다 (예에서 알 수 있듯이). 가중치는 임의적이지 않으므로 계산이 효율적으로 해결됩니다. $n = 1$ $w_p$

실시 예 2 : 하자로 정의 될,대응 소수 인,되도록입니다. 이는가 모든대해을나누적용 가능합니다. 우리는 각각의가까지의 모든 소수의 곱을얻습니다. 단위 중량의 값은합니다. 바운드가 있으므로 (~ $w_{j+1}$ $w_j * p$ $p$ $j$ $p=2, j=1: p=3, j=2, p=5, j=3, p=7, j=4,...,P, J$ $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ $w_j$ $j$ $1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, ...$ $p_j$ $j log (j)$ 몫이 모두 소수이므로 NP-Intermediate의 복잡성을 얻게됩니다.

실시 예 3 : 하자로 정의 될,대응 무한대 두에서 임의로 선택된 소수이다. 는모든대해을나누문제에 적용 할 수있습니다. 우리는와 같이 처음 5 몫을 얻습니다 (임의로 2에서 무한대로 떨어짐). 우리는 5 번째 공에서도 무게가 11 자리임을 알 수 있습니다. 다행히도 5 번째 몫은 2 개이며이상인소수는 아닙니다. $w_{j+1}$ $w_j * R_p$ $R_p$ $j$ $w_j$ $w_{j+1}$ $j$ $101, 2657, 7, 3169, 2$ $10^{100}$

위의 예제 3은 가 해당하는 다항식에 의해 제한되지 않는 경우 (임의 가중치) 입니다. 시간 복잡성은 기하 급수적으로 NP-Hard입니다. 일부 관점에서는 모든 가중치를 합산하고 적합한 지 확인하십시오. 그러나 각 하위 집합을 시도하여 작동하는지 확인하는 것보다 가중치를 나눌 수있게하여 훨씬 빠르게 해결할 수있는 솔루션은 없습니다. 수십 개의 공이 있더라도 여전히 수조의 서브셋 또는 수조의 영역으로 들어가고 있습니다. $w_j$ $i$

— 제프
소스

그러나 소인수 분해는 NP-hard가 아닌 것으로 간주됩니다. NP- 중간 것으로 간주됩니다.

— rus9384

나는 여기에 축소가 보이지 않습니다. 실제 감축은 무엇입니까? 소수 분해를 입력하고 정수 프로그램의 솔루션을 사용하여 분해를 출력했습니다.

— Chao Xu

"위의 정수 프로그램은 NP-hard"입니까? 개별 프로그램은 NP-hard 일 수 없습니다.

— Yuval Filmus

실제로 소인수 분해는 있습니다. 따라서 경우 -hard 입니다.

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP\cap coNP}$

N P

$\mathsf{NP}$

N P = c o N P

$\mathsf{NP=coNP}$

— rus9384

불행히도 추가 편집 내용은 지워지지 않았습니다. 실제 축소가 도움이 될 것입니다.

— Chao Xu