축퇴 다각형이란 무엇입니까?

9

축퇴 다각형이란 무엇입니까? 주어진 다각형 쌍의 퇴행 여부를 어떻게 확인합니까?

algorithms computational-geometry

— 앨리스
소스

2

문맥? "퇴화 다각형"에 표준 정의가 있다고 생각하지 않습니다.

— Peter Shor

볼록 다각형이 두 개인 경우 어떻게 변질됩니까? 공통점을 공유하거나 겹치는 경우? 아니면 없습니까? 아니면 둘다?

— Alice

1

내 생각에 이들은 인접한 두 정점이 동일한 다각형입니다.

— Yuval Filmus 2016 년

9

정점 중 일부가 서로 놓여 있으면 다각형이 퇴화 됩니다. 예를 들어 삼각형 (0,0), (0,1), (0,0)은 변성됩니다. 3 개의 변과 3 개의 정점이 있지만 두 개의 정점이 반복됩니다. 정점을 여러 번 반복 할 수 있습니다 (예 : (0,0), (0,0), (0,0)은 다른 축퇴 삼각형). 정의에 따라 다각형의 축퇴 여부를 쉽게 확인할 수 있습니다.

그러나 축퇴 다각형의 용도는 무엇입니까? 그래픽 가속 (3D 드로잉)의 한 가지 응용 프로그램은 다음과 같습니다.

3D 드로잉에서 GPU는 일반적으로 삼각 측량을 사용하여 이미지를 렌더링합니다. 삼각형을 사용하는 (간단한) 이유는 가능한 가장 간단한 2D 객체이기 때문에 많은 하드웨어가 필요하지 않기 때문입니다.

이 GPU 제한으로 복잡한 3D 이미지를 그리려면 여러 삼각형으로 분해해야합니다. 그러나 GPU를 호출하여 각 삼각형을 개별적으로 렌더링하면 호출 횟수 때문에 속도가 느려집니다. 따라서 삼각형 스트립은 GPU 호출 횟수를 줄이는 데 사용됩니다. 삼각형 스트립의 좋은 설명은에서 찾을 수 있습니다 마이크로 소프트 문서 : 삼각형 스트립 : 또한 당신이 위키 볼 수있는 삼각형 스트립 .

그러나 문제는 하나의 스트립에 두 개의 개별 객체를 그리려고 할 때 발생합니다. 이 경우 삼각형의 도움이됩니다. GPU는 축퇴 삼각형을 감지하고 해당 도면을 건너 뛸 수 있습니다. 따라서 하나의 축퇴 삼각형으로 두 개의 개별 스트립을 연결할 수 있습니다.

일반적으로 다른 구성 요소가 있고 해당 삼각형 스트립이 이미있는 경우 GPU를 한 번만 호출하여 구성 요소를 모두 그릴 수 있습니다. 이로 인해 추가 메모리 사용이 발생하지만 렌더링을위한 GPU 호출 횟수와 축약 된 추가 삼각형을 사용하는 오버 헤드 사이의 균형을 유지합니다. $n$

— 방황 논리
소스

1

축퇴가 인접한 동일한 정점 만을 의미하는지 또는 정의에 인접하지 않은 동일한 정점이 포함되어 있는지 여부를 설명 할 수 있습니까? (진실한 질문 — 답변을 개선하려는 것이 아니라)

— Erik Hermansen

0

축퇴 다각형은 면적이 0 인 다각형입니다.

— 가브리엘로 웨더
소스

user742의 대답이 맞다면 이것은 사실이 아닙니다. 사각형을 가져 가라. 두 개의 정점이 두 개만 같으면 삼각형이므로 면적이> 0입니다.

— HankCa

그리고 당신은 이것을 잘 설명했습니다. 삼각형은 퇴화되지 않습니다.

— 가브리엘로 웨더

0

다른 사람들이 지적했듯이, 그것은 달려 있습니다. 일반적으로 말하면, 변칙 점이없는 다각형은 변성되지 않지만 문제를 한 단계 뒤로 밀어냅니다. "비정상적인"이란 무엇입니까?

실제 대답은 다각형이 사양을 위반하면 축퇴한다는 것입니다. 약간 무례한 대답은 다각형이 알고리즘이 처리 할 수없는 가장자리 인 경우 다각형이 퇴화한다는 것입니다.

다음은 GIS 세계의 예입니다. OGC의 심플는 사양 특징 다각형 "유효"를 만드는 것을 매우 조심 정의를 가지고있다. 섹션 6.1.11.1에서 인용 :

다각형에 대한 어설 션 (유효한 다각형을 정의하는 규칙)은 다음과 같습니다.

a) 다각형은 위상 적으로 닫힌다.

b) 다각형의 경계는 외부 및 내부 경계를 구성하는 LinearRing 세트로 구성됩니다.

c) 경계 교차에있는 두 개의 고리와 다각형 경계에있는 고리는 한 지점에서 교차 할 수 있지만 접선으로 만 교차 할 수 없습니다.
$\begin{aligned} \forall 피 \in 다각형, \forall 씨_{1}, 씨_{2} \in P. 경계, 씨_{1} \neq 씨_{2}, \\ \forall 피, 큐 \in 포인트, 피, 큐 \in 씨_{1}, 피 \neq 큐, \\ [피 \in 씨_{2}] \Rightarrow [\exists δ > 0 | [| 피 - 큐 | < δ] \Rightarrow [큐 \notin 씨_{2}]] \end{aligned}$ $\begin{align*} & \forall P \in \hbox{Polygon}, \forall c_1, c_2 \in \hbox{P.Boundary}, c_1 \ne c_2,\\ & \forall p, q \in \hbox{Point},\,p,q \in c_1, p \ne q,\\ & \left[ p \in c_2 \right] \Rightarrow \left[ \exists \delta > 0 | \left[\left|p-q\right|<\delta\right]\ \Rightarrow \left[ q \not\in c_2 \right] \right] \end{align*}$ ;

참고 :이 마지막 조건은 두 곡선에 공통 인 점에서 근처 점을 공통적으로 사용할 수 없음을 나타냅니다. 그러면 각 공통점이 접선 점이됩니다.

d) 다각형에는 절단 선, 스파이크 또는 구멍이 없어야합니다. 예 : $\forall P \in \hbox{Polygon}, P = \hbox{P.Interior.Closure}$ ;

e) 모든 다각형의 내부는 연결된 점 세트입니다.

f) 하나 이상의 구멍이있는 다각형의 외부가 연결되어 있지 않습니다. 각 구멍은 외부의 연결된 구성 요소를 정의합니다.

위의 주장에서 내부, 폐쇄 및 외부에는 표준 토폴로지 정의가 있습니다. (a)와 (c)의 조합은 다각형을 규칙적인 닫힌 점 세트로 만듭니다.

— 아호
소스