범용 아날로그 계산에 필요한 것은 무엇입니까?

임의의 아날로그 계산 을 수행하려면 어떤 작업을 수행해야 합니까? 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기로 충분합니까?

또한 디지털 계산이 아닌 아날로그 계산을 사용하여 다루기 쉬운 문제를 정확히 아는 사람이 있습니까?

불행하게도, 아날로그 컴퓨팅에는 "보편적 인"보편성의 개념이 없습니다. 그러나 Delvenne 의이 논문 은 이산 (예 : Turing Machines) 및 연속 (예 : 미분 방정식) 동적 시스템의 보편성에 대한 통일 된 형식주의를 제안하고 문헌에서 연구 된 일부 범용 시스템을 검토합니다. 다음은 동적 시스템의 보편성을 증명하는 절차를 비공식적으로 설명하는 논문에서 발췌 한 것입니다.

그러나 수학과 물리학에서 연구 된 대부분의 역학 시스템은 셀룰러 오토마타, 미분 방정식, 조각 선형지도 등과 같은 셀 수없는 상태 공간을 가지고 있습니다. 이러한 시스템의 예는 보편적으로 입증되었습니다. 그들의 정지 문제는 다음과 같은 방식으로 튜링 머신에서 모방됩니다. 셀 수있는 초기 상태의 특정 제품군과 셀 수있는 최종 상태 또는 최종 상태 세트를 선택합니다. 그 후 정지 문제는 초기 상태 및 최종 상태 / 상태 세트가 주어지며, 초기 상태로부터 출발하는 궤도가 최종 상태 / 상태 세트에 도달하는지의 여부이다. 더 구체적인 예는 섹션 7에 나와 있습니다.

Jean-Charles Delvenne, 범용 컴퓨팅 머신이란 무엇입니까?, 응용 수학 및 계산, 215 권 4 호, 2009 년 10 월 15 일, 페이지 1368-1374

우리가 어떤 종류의 계산에 대해 정의하지 않으면 질문에 대답 할 수 없다고 생각합니다.

컴퓨터 클래스의 컴퓨터 모델의 보편성은 컴퓨터로 해당 클래스의 모든 컴퓨터를 계산할 수 있음을 의미합니다. "임의 아날로그 계산"클래스를 정의하지 않으면 범용성이 무엇인지 대답 할 수 없습니다.

이제 나열된 함수는 다항식과 실제 함수의 작은 클래스 인 몫을 제공하므로 , ⌊ x ⌋ , √ 와 같은 간단한 함수도 계산할 수 없습니다$2^x$$\lfloor x \rfloor$ , ... 그것들을 사용합니다.$\sqrt x$

초기 상태에서 시작하는 물리적 시스템이 언젠가 다른 상태에 도달하고 항상 계산 가능한 경우 질문은 우리가 이야기하는 물리학의 종류와 설정의 의미에 달려 있습니다. 초기 구성 및 결과 관찰 등

우리가 고전 물리학에 대해 수학적으로 이야기하고 있다면 (초기 구성을 무한 정밀도로 설정하고 구성을 설정하고 결과를 관찰하는 데 필요한 에너지와 같은 것을 고려하지 않고 수학적 관점에서 유사하게 볼 수 있음) 솔루션이 계산할 수없는 계산 함수에 대한 미분 방정식이 오랫동안 존재하는 경우 Marian B. Pour-El 및 J. Ian Richards, " Computability in Analysis and Physics ", 1989를 참조하십시오.

흥미로운 사례는 n-body 문제 가 계산 가능한 경우입니다 (그리고 올바르게 기억한다면 대답은 아니오, 적어도 ).$n>4$

일반적으로 실수에 대한 일반적인 유형의 정보를 연속적으로 표시하지 않는 함수를 제공하는 두 개의 실수의 동등성을 확인할 수 있다면 튜링 기계는 어떤 함수 (상위 유형 함수 포함) 때문에 튜링 기계에 의해 계산 될 수 없습니다 계산은 연속적 일 수있다 (정보의 토폴로지를 작성).

TL; DR : 만약 "아날로그 컴퓨터"라면, 차동 분석기 를 의미 할 수 있습니다 . 대답은 가산기, 상수 단위 및 적분기입니다. Bournez, Campagnolo, Graça 및 Hainry는 2006 년 ( 유월 / 무료 재 인쇄 ) 이상적인 모델 이 계산 가능한 분석 프레임 워크에서 모든 계산 가능한 기능을 계산할 수 있음을 보여 주었으며이 모델 에는 이러한 3 가지 종류의 유닛 만 필요합니다.

초월 함수

$\sin$$\exp$$\log$

아날로그 컴퓨팅 모델

다른 사람에 의해 강조로, "보편적 인 계산"의 개념이 서로 다른 컴퓨팅 모델에서 계산 가능성의 서로 다른 자연 개념은 1930 년대에 상응 발견 표준 컴퓨터,보다 아날로그 컴퓨터 덜 분명하다 (참조 자세한 내용은 교회 튜링의 논문에 위키 백과 페이지 ) .

이러한 보편성을 정의하기 위해서는 먼저 아날로그 계산을위한 좋은 모델을 정의해야하며, 모델이 유용하고 충분히 자연 스러워야하기 때문에 어려운 과제이지만, 이상화는 비현실적인 힘을 제공하지 않아야합니다. 모델. 이러한 이상적인 이상화의 예로는 튜링 머신의 무한 테이프가 있습니다. 아날로그 컴퓨터의 문제는 Zeno 머신 과 같은 불합리한 물건을 만들 수있는 실수가 있습니다 . 그러나 몇 가지 그러한 모델이 제안되어 문헌에 사용되었습니다 (GPAC는이 답변의 주요 주제이지만 하이퍼 컴퓨터 없이 아래 목록에서 완성하려고합니다 ).

• 범용 아날로그 컴퓨터 에 의해 정의 (GPAC), 클로드 E.Shannon 1941 (에 paywalled PDF 파일 ) 모델링하는 차동 분석기 . GPAC의 정의는 최근에 개선되었으며 컴퓨팅 성능이 상향 조정되었습니다.
• 블룸 - Shub-Smale에 기계 실수에 이산 시간에 역할. 계산 기하학에서 자주 사용되는 Real RAM 모델 과 밀접한 관련이 있습니다 .
• $\mathbb R$
• 신경망 ;
• 튜링 머신이 계산할 수있는 실수를 보여주는 계산 가능한 분석 .

GPAC 모델의 힘

$\Gamma$$\zeta$$y(t)=\Gamma(t)$그와 같은 아날로그 컴퓨터는 수학자들이 사용하는 합리적인 계산 기능을 생성 할 수 없기 때문에 오랫동안 보편적이지 않은 것처럼 보였다.

$f$$y(t)$$f(x)$$x$$\gamma$$\zeta$.

Bournez, Graça 및 Pouly는 2013 년에 이러한 아날로그 컴퓨터가 튜링 머신을 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있으며 ( p.181의 큰 pdf ) 2014 년 에는이 모델에서 P 및 NP 복잡성 클래스가 동등하다는 것을 보여주었습니다.

범용 신경 시스템이 무한 신경망에 의해 모델링 될 수 있다고 제안하는 것이 유용합니까? 즉, 다른 아날로그 시스템 입력 / 출력 값은 주어진 연산에 대해 일치하는 신경망을 복제 할 수 있으며, 필요에 따라 연산을 연결할 수 있습니까?

이 생각을 직접 작성했지만 후속 검색에서도 비슷한 제안이 표시되었습니다.

등장하는 것은 디지털 튜링 기계 대신 신경망 모델을 특징으로하는 아날로그 계산 분야에 적용되는 교회 튜링과 같은 논문입니다 ( 여기 참조 ).

아마도 필요한 것은 한 노드에서 다른 노드로 값을 이동시키는 기본 조작입니다. 커프 오프에서 연결 사이의 비율을 얻기 위해 더하기, 빼기 및 나누기가 가능합니다.

다루기 힘든 문제에 관해서는 신경망이 어디에 성공적으로 적용되었는지 또는 별도의 컴퓨터에서 구현되어 성능이 떨어지는지를 살펴보십시오.

(이 주제에 대한 거의 평신도의 견해가 눈에 띄면 사과드립니다)