유형을 가정 할 때 허위 제안의 예 : 유형

Type Theory에서 Type이 자신의 구성원이 될 수 있으면 이론이 일치하지 않습니다. 나는 Set Theory에서 Russel의 역설과 유사하게 이해하지만 Type Theory에서 수행하는 것을 선호합니다. Type Theory에 해당하는 간단한 예가 있습니까?

관련 문헌은 다음과 같습니다.

Thierry Coquand 유형 이론의 새로운 역설 (link) . 그는 자신의 역설을 다소 약한 시스템에서 설명한다

Type : Type

그러나 그것은 쉽게 위의 것으로 운반 될 수 있습니다. 주요 아이디어는 레이놀즈가 세트 이론에 시스템 F의 모델이 없다는 증거를 얻는 것입니다. 그것은 다음과 같은 형태의 초기 대수를 구축함으로써 진행됩니다.

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

어디 $\mathrm{2}$은 2 개의 요소로 구성되며 카디널리티 인수에 의해 모순을 유도합니다. 코 퀀드 쇼

1. 위의 이론에서이 추론을 수행 할 수 있습니다
2. 가 이다 이 이론에서 시스템 F의 모델. 이로 인해 모순이 발생합니다.

두 번째 기사는 Antonius Hurkens의 기사이며 Girard의 역설을 단순화합니다 (link) . 증명은 "모든 잘 설립 된 유형의 유형"의 구성을 포함합니다. 나는 일반적인 생각이 분명해 보이지만, 세부 사항은 매우 불분명하다.

나는 간단하고 이해하기 쉬운 모순이 없다는 것을 두려워합니다. $\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$. 그러나 모순에서 얻은 증명 용어는 비교적 다루기 쉽습니다.이를 정의하기 위해 몇 줄만으로 충분합니다.

그의 논문 논문 에서 Alexandre Miquel 은 세트의 포인트 그래프 해석을 사용하여 이러한 불일치 유형 시스템에서 순진한 세트 이론의 모델을 구성 할 수 있음을 보여 주었다. 그런 다음 Russel의 역설을 직접 적용 할 수 있습니다. 불행히도 모델 구성에는 약간의 작업이 필요하며 논문은 프랑스어로 작성됩니다.