동등한 DFA가 최대 크기가되도록 NFA의 조건은 무엇입니까?

우리는 DFA가 표현력면에서 NFA와 동등하다는 것을 알고 있습니다. NFA를 DFA로 변환하는 알려진 알고리즘도 있습니다 (불행히도 이제는 해당 알고리즘의 발명자를 알고 있습니다). 최악의 경우 NFA에 상태 가있는 경우 상태가됩니다 . $2^S$ $S$

내 질문은 : 최악의 시나리오를 결정하는 것은 무엇입니까?

다음은 모호한 경우 알고리즘의 전사입니다.

하자 NFA 될. 여기서 DFA . $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

$Q' = \mathcal{P}(Q)$ ,
$F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$ ,
$\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$ 및
$q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$ ,

여기서 는 의 확장 된 전이 함수입니다 . $\hat\delta$ $A$

— 다닐
소스

의견에 따르면 DFA (공개 문제)에 대해 "최소"NFA를 요청하여이 Q를 구할 수 있습니다. 항상이 문제는 여러 가지 방법으로 P =? NP 질문과 밀접한 관련이 있다고 생각했으며,이를 제안하는 비슷한 공식이 있습니다. 최소의 NFA가 거의 DFA의 크기와 같이 "압축 불가능"이 최악 인 경우 "압축 가능"대 "압축 불가능"DFA에 대해 묻는 것과 유사합니다. 같은 몇 가지 정리 아마이 "무작위로 찍은 가장 DFAS은 비압축성이다 [에 NFA 쌍이]"문자열 등의 정보 이론 다시 콜 모고 로프의 복잡성과 유사 thms 있기 때문에

— vzn

답변:

참조하는 알고리즘을 Powerset Construction이라고하며 1959 년 Michael Rabin과 Dana Scott이 처음 게시했습니다.

제목에 명시된대로 질문에 대답하기 위해 정규 언어에 대한 최대 DFA 는 없습니다. DFA를 가져 와서 전환 할 때 원하는만큼 많은 상태를 추가 할 수 있지만 원래 상태 중 하나를 전환 할 수는 없기 때문입니다. 그리고 새로운 것 중 하나. 따라서, 새로운 상태는 초기 상태에서 연결할 수 없습니다 오토 마톤에서 허용하는 언어 (이후 변경되지 않도록, 모두 동일하게 유지됩니다 ). $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

즉, 대한 NFA에 어떤 조건이있을 수 있습니다 것이 분명했다 그 어떤 존재하지 않기 때문에 해당 DFA는 최대로 독특한 해당 DFA. 반면, 최소 DFA는 동형에 고유합니다.

함께 NFA 수락 언어의 정규 예 당량 DFA 상태로 상태는 위한 NFA 이다 $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

와

과

에 대한

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

. 이 것이 NFA에 파워 셋 구조를 적용하는 결과 DFA

모든 표현해야하기 때문에, 상태를

길이의 단어

에서 단어의 접미사로

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— 야 노마
소스

그런데, 디스플레이 수학 모드에서 중괄호를 나타내려면 \\ {및 \\}를 사용하십시오.

— Zach Langley

@ZachLangley 내가 이미 시도했지만 작동하지 않습니다 :-(

— Janoma

미리보기에서 나를 위해 일하는 것 같습니다. 네 글자 만 추가하고 최소 글자 수는 6 자이므로 수정 사항을 제출할 수 없습니다. 두 개의 백 슬래시를 사용하고 있는데 작동하지 않습니까?

— Zach Langley

@ZachLangley 그것은 지금 작동하지만 두 가지 일입니다. 첫째, 처음 답변을 게시했을 때 작동하지 않았습니다. 둘째, 이것이 cstheory의 LaTeX 렌더링 동작과 일치하지 않는다고 생각하지만 잘못되었을 수 있습니다.

— Janoma

결과 DFA는 최소입니까? 최소임을 증명하는 방법에 대해 조금 말씀해 주시겠습니까?

— user834

$2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— 패트릭 87
소스

동의하지만 "NFA에서 가능한 모든 국가의 하위 집단에 도달 할 수있는 방법이 있는지"라는 문제는 사소하지

— 않으며

-1

나는 이것이 지식의 경계, 즉 기본적으로 연구 질문에 대한 질문이라고 생각합니다. 빠른 Google 검색에서 대부분 열린 것으로 보입니다. 또한 수년 동안 나는 그것이 중요하고 복잡한 이론 하한과 관련이 있다고 믿었습니다. 당신은 통계 분석을 직접 언급하지 않지만 그것은 당신의 질문에 의해 암시됩니다. 다음은 이러한 유형의 질문에 대한 일반적인 접근 방식을 보여주는 DFA / NFA에 대한 통계 연구의 두 가지 예입니다. 이와 같은 질문에 대한 기본 경험적 연구는 여전히 대부분 탐구되지 않은 것으로 보입니다. 분명히 2nd는 귀하의 질문과 직접 관련이 없지만 현재 연구에서 찾을 수있는 가장 가까운 것입니다.

$x$

이 메트릭은 에지 밀도 등의 그래프 이론 메트릭과 관련이 있습니다. "폭발 (blow-up)"을 추정하는 매우 중요한 그래프 이론 메트릭 또는 메트릭스 혼합이있을 수 있지만 즉시 나에게 명백하지는 않습니다. 그래프 채색 메트릭이나 클릭 기준과 같은 것을 제안 할 수 있습니다. 그런 다음 "Blow-up"과 "Blow-up"이 아닌 두 세트에 대해 메트릭을 테스트하십시오.

지금까지 귀하의 질문에 대한 다른 답변은 "폭발 (blow-up)"사례 (사례 연구에 유용함)만을 제공하지만 일반적인 측정 항목의 핵심 문제는 다루지 않습니다.

성공적으로 개발 된 경험적 연구 프로그램을 살펴볼 또 다른 영역은 SAT 전환점 연구입니다. 그것은 물리학과 열역학 개념과 매우 깊은 관계를 발전 시켰습니다. 비슷한 개념이 여기에 적용되는 것 같습니다. 예를 들어 유사한 전 이점 유형 메트릭을 찾을 수 있습니다. 아마도 가장자리 밀도 등입니다. Kolmogorov 압축 이론과 유사합니다.

또한 "폭발 (blow-up)"한 NFA와 그렇지 않은 NFA는 NP- 완전 문제의 "하드 (hard)"vs "쉬운 (easy)"사례와 유사합니다.

이 문제를 연구하는 또 다른 방법은 NFA 최소화 문제를 공식화하는 것입니다. 즉, DFA가 주어 졌을 때, 지난 몇 년 전에도 여전히 열린 문제라고 들었던 최소 NFA를 찾으십시오.

[1] 오토마타 최소화 알고리즘의 성능 Marco Almeida, Nelma Moreira, Rogério Reis

[2] 단어가없는 오토마타 : 통계적 접근 Cristian S. Calude, Cezar Câmpeanu, Monica Dumitrescu

— vzn
소스