노조 존재시 NFA와 DFA의 지수 분리

최근 흥미로운 질문이 제기되어 삭제되었습니다.

일반 언어 $L$ 경우 DFA 복잡도 는이를 수용하는 최소 DFA의 크기이며, NFA 복잡도 는이를 수용하는 최소 NFA의 크기입니다. 적어도 알파벳의 크기가 제한되지 않을 때, 두 복잡성 사이에 지수 적 분리가 존재한다는 것은 잘 알려져있다. 실제로, 모든 기호를 포함 하지 않는 모든 단어로 구성된 알파벳 위 의 언어 $L_n$ 을 고려하십시오 . Myhill-Nerode 정리를 사용하면 DFA 복잡도 쉽게 계산할 수 있습니다. 한편, NFA의 복잡성이 아니라 $\{1,\ldots,n\}$ $2^n$ $n$ (여러 초기 상태가 허용되면 그렇지 않으면 ). $n+1$

해당 의료 삭제 된 문제 의 복잡성 커버 DFA 최소 인 언어의 있도록 최대 DFA 복잡성의 언어 (반드시 해체되지 않음) 노동 조합과 같이 쓸 수있다 . 복잡성을 다루는 DFA 는 에 불과 합니다. $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

NFA 복잡성과 복잡성을 포괄하는 DFA 사이에 지수 분리가 있습니까?

regular-languages finite-automata

— 유발 필름 러스
소스

언어 . 여기서 은 새로운 기호입니다. 의 NFA 복잡도 는 입니다. 우리는 DFA 포함하는 복잡 것을 보여줍니다 . $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

하자 어떤 언어 받아들이 DFA 수 전이 함수와, . 호출 상태 일부 단어가 가능한 경우를 되도록 받아들이는 상태이다. 실패하지 않은 두 상태 경우 $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ 모든 단어 확인 어렵지 않다 과 같이 쓸 수있다 일부 가능한 위해 .

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

, 여기서 각 는 DFA 라고 가정하자 . 는 모든 언어 의해 생성 된 격자라고 하자 $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ . 우리는 볼 수언어로위에에 대응하는 두 심벌들 사이의 공간. 이러한 관점에서, $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ 에 대응하고 . $P^*$

통화 범용 경우 일부 가 모두있는 경우와 가 되도록 . 우리는 일부 가 보편적 이라고 주장한다 . 그렇지 않으면 각 에는 최대 $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ 길이의 단어 . 전체적으로 는 모두 길이의 말 , 따라서 충분한에 대한 위반, . $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

한다고 가정 보편적이며, 기록 간결한다. 하자 해당 접두사, 그리고하자 그것에 해당하는 몇 가지 단어합니다. 따라서, 각각의 일부가 되도록 . $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

부분 집합 경우 는 순서대로 작성된 문자로 구성됩니다 . 우리는 단어 가 Myhill-Nerode 관계 와 동등하지 않다고 주장합니다 . 실제로, 가정 일부 찾을 수 (일반성의 손실없이). 그런 다음 $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ 동안 . 따라서 최소가 있어야합니다 상태. $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$

— Yuval Filmus
소스