정규 언어의 최대 인수 분해 찾기

언어 $\mathcal{L} \subseteq \Sigma^*$ 를 규칙적으로 유지하십시오.

의 인수 분해 는 다음과 같은 단어 집합의 $\mathcal{L}$ 최대 쌍 $(X,Y)$ 입니다.

$X \cdot Y \subseteq \mathcal{L}$
$X \neq \emptyset \neq Y$ ,

여기서 $X \cdot Y = \{xy$ | $x \in X, y \in Y\}$ .

$(X,Y)$ $(X',Y') \neq (X,Y)$ $X'\cdot Y' \subseteq \mathcal{L}$ $X \not \subseteq X'$ $Y \not \subseteq Y'$

어떤 쌍이 최대인지 알아내는 간단한 절차가 있습니까?

예:

하자 . 세트 는 다음과 같이 계산됩니다. $\mathcal{L} = \Sigma^∗ab \Sigma^∗$ $F = \{u, v, w\}$

$u =(\Sigma^∗, \Sigma^∗ab\Sigma^∗)$
$v = (\Sigma^∗a\Sigma^∗, \Sigma^∗b\Sigma^∗)$
$w = (\Sigma^∗ab\Sigma^∗, \Sigma^∗)$

여기서 입니다. $\Sigma = \{a,b\}$

또 다른 예:

$\Sigma = \{a, b\}$ 와 인수 분해 설정 과 $\mathcal{L} = \Sigma^*a\Sigma$ $F = \{q, r, s, t\}$

$q = (\Sigma^*, \mathcal{L})$
$r = (\Sigma^*a, \Sigma + \mathcal{L})$
$s = (\Sigma^*aa, \epsilon + \Sigma + \mathcal{L})$
$t = (\mathcal{L}, \epsilon + \mathcal{L})$

algorithms regular-languages optimization

— 로라
소스

나는 다음과 같은 종이를 읽어 보시기 바랍니다 자크 Sakarovitch에 의해 (특히 하위 섹션 4.1.) : perso.telecom-paristech.fr/~jsaka/PUB/Files/TUA.pdf

— 고넬료 브랜드

문제, 즉 질문의 마지막 문장에 대해 더 구체적으로 설명하고 싶을 지 궁금합니다. 우리는 받았으며 가 최대 인지 테스트하고 싶 습니까? 최대 인 모든 를 열거하는 것이 우리의 임무 입니까? 후자의 경우이 목록이 유한 또는 다항식 크기라는 것이 분명합니까? 기하 급수적으로 많은 가능성이있는 경우 모든 가능성을 열거하는 알고리즘을 요청하는 것이 이치에 맞지 않습니다. 또한, 언어 가 우리에게 제시 될 때 표현되는 방식과 가 표현되는 방식을 지정 하시겠습니까? (예 : DFA, NFA, 정규식)

X, Y

$X,Y$

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

L

${\cal L}$

X, Y

$X,Y$

— DW

나는 당신의 예를 이해하지 못합니다. 있습니까 모두 최대 쌍 있어야하는데? 유효하지 않은 것 같습니다 ...

u, v, w

$u,v,w$

v

$v$

— 라파엘

예는 위에서 언급 한 논문에서 발췌 한 것입니다. 는 최대 쌍이어야합니다. 또한 가 있을 필요는 없기 때문에 가 어떻게 계산 되는지 이해하지 못합니다 . 다른 예를 게시하겠습니다.

u, v, w

$u,v,w$

v

$v$

L

$\mathcal{L}$

— Laura

@Raphael, 가 유효한 것처럼 보입니다 . 시키는 , , 이후 인수이고, (임의의 문자열이 고려 는 , 그다음 임의의 및 / 또는 시퀀스를 포함하고 결국 a .이 문자열에는 첫 번째 가 나타나는 지점이 있어야 하므로 포함하는 지점입니다 ). 최대 값이라는 증거는 없지만 의 인수 분해 인 더 큰 세트를 찾을 수 없습니다 .

v

$v$

X = Σ^{*} a Σ^{*}

$X=\Sigma^* a \Sigma^*$

Y = Σ^{*} b Σ^{*}

$Y=\Sigma^* b \Sigma^*$

(X, Y)

$(X,Y)$

X \cdot Y = L

$X \cdot Y = {\cal L}$

a

$a$

a

$a$

b

$b$

b

$b$

b

$b$

a b

$ab$

X^{'}, Y^{'}

$X',Y'$

L

${\cal L}$

— DW

질문에 대한 의견에서 제안한 바와 같이, 나는 적어도 내가 스스로 문제를 이해 한 한도 내에서 (불행하게도 부분적인) 대답을하려고 노력할 것입니다. 아래 사항 중 하나를 더 간단하거나 명확하게 설명하는 방법은 답을 자유롭게 편집하십시오).

첫째, 언어의 인수 분해를 계산하려면 실제로 언어의 범용 오토 마톤을 계산할 필요가 없습니다.

에서 내 댓글에 언급 된 종이 ¹, 언어의 왼쪽 요인 주어진 정규 언어의 좌우 요인 사이에 1-1 대응이,이, 해당 권리 요인은 유일하게 반대 결정과 반대된다. 보다 정확하게는 다음과 같습니다.

를 의 인수 분해 합시다 . 그런 다음 즉 왼쪽 요소는 오른쪽 몫의 교집합입니다. 오른쪽 요인은 왼쪽 몫의 교집합입니다. 반대로 좌측 몫 중 교차 의 우측 인자 , 그리고 우측 몫 중 교차 의 좌측 인자 . $(X,Y)$ $L$

Y = ⋂_{x \in X} x^{- 1} L, X = ⋂_{y \in Y} L y^{- 1},

$Y = \bigcap_{x \in X}x^{-1}L, X = \bigcap_{y \in Y}Ly^{-1},$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

정규 언어의 경우 유한 한 왼쪽 및 오른쪽 몫 세트가 있으므로 문제는 언어의 왼쪽 및 오른쪽 몫을 계산 한 다음 cap-안정적인 클로저, 즉 a 교차로에서 닫힌 몫의 최소 수퍼 셋. 그러면 이들은 정확히 올바른 요인과 왼쪽 요인이며 일반적으로 어떤 쌍이 부분 집합인지 쉽게 알 수 있습니다 . $\cap$ $L$

예

위의 요점을 설명하기 위해 질문의 첫 번째 예를 고려하십시오 (이 논문에서는 그것이 틀렸다고 생각합니다).

하자 . 이제 좌측 몫 세트이다 위한 이며, 그 단어 에 접두사 수 , 즉 . 언제 구별을위한 ? 와 를 단어로 확장 할 수있는 경우에만 해당됩니다. $L = \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast$ $L$ $x^{-1}L$ $x\in \Sigma^\ast$ $u$ $\Sigma^\ast$ $x$ $xu \in L$ $y^{-1}L=x^{-1}L$ $x,y$ $x$ $y$ $L$ 정확히 같은 접미사로. 즉,보다 친숙한 용어로 표현하면 Neroe와 동일하며 Nerode 클래스의 단어에 추가하는 데 필요한 접미사가 정확히 왼쪽 몫입니다.

들어 , 우리는 우리의 Nerode - 등가 클래스는 것을 볼 $L$

$N_1$ , 단어를 포함하지 않는 집합 요소로하고 끝나는 , $ab$ $a$
$N_2$ : 끝나고 를 인자로 포함하지 않는 단어 세트 $b$ $ab$
$N_3$ 를 인자로 포함하는 단어 집합 인 , 즉 $ab$ $N_3 = L$

그것들은 다음과 같은 세트로 보강 될 수 있습니다 (즉, 각각의 클래스에서 단어의 왼쪽 몫입니다) :

$S_1 = x^{-1}L$ 에 대한 의 모든 단어 구성 (단어가 포함 된 단어와 함께 증가 될 수 인자로함으로써에서 단어된다 ) 및 , 그 인 $x$ $N_1$ $L$ $ab$ $L$ $b\Sigma^\ast$ $S_1 = L \cup b\Sigma^\ast$
$S_2 = x^{-1}L$ 에 대한 은 언어 자체입니다. 즉, 이고 $x$ $N_2$ $S_2 = L$
$S_3 = x^{-1}L$ 에 대한 은 분명히 입니다. 즉, 우리는 세 가지 올바른 요소를 발견했습니다 . 로 , 자신의 -stable 폐쇄 하찮게이다 , 그 다음 정확하게 권리 요소입니다. $x$ $N_3$ $\Sigma^\ast$ $L$ $S_2\subset S_1\subset S_3$ $\cap$ ${S_1,S_2,S_3}$

따라서 인수 분해 세트 은 입니다. $\mathcal{F}_L$ $(P_1,S_1),(P_2,S_2),(P_3,S_3)$

이제 왼쪽 요인 에 대해이 답변의 시작 부분에 대한 방정식을 사용합니다. $P_i$

P_{i} = ⋂_{x \in S_{i}} L x^{- 1}

$P_i = \bigcap_{x\in S_i} Lx^{-1}$ 입니다.

대한 ,이 수익률의 , 대한 우리가 얻을 하고 대한 , 우리가 얻을 . 검사 (공식 증거를 진술하기에 너무 게으른 것에 대한 가장 보편적 인 변명) 또는 올바른 몫 (왼쪽 몫을 계산하는 것과 완전히 유사하지는 않음)을 명시 적으로 계산하여 이것을 볼 수 있습니다. 따라서 우리의 인수 분해는 의해 주어집니다 . $P_1$ $L \cup \Sigma^\ast a$ $P_2$ $\Sigma^\ast$ $P_3$ $L$ $\mathcal{F}_L = {u,v,w}$

$u = (P_1,S_1) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup \Sigma^\ast a, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup b\Sigma^\ast)$
$v = (P_2, S_2) = (\Sigma^\ast, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast)$ 및
$w = (P_3, S_3) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast, \Sigma^\ast)$

요약

요약하자면 (간단한 절차를 요구했을 때) :

언어의 인수 분해 컴퓨팅 , 제 왼쪽 몫 계산 . $L$ $L$
논문의 언어로 대해 최소 DFA 를 구성한 다음 각 상태 에 (Nerode-equivalence 클래스로 왼쪽 몫에 해당) 의 미래를 계산하여 에서 의 미래를 계산할 수 있습니다 따라서 각 상태에 대해 언어의 하나의 왼쪽 몫을 얻습니다. $A$ $L$ $q$ $A$ $q$ $A$
이러한 방식으로 획득 된 좌 몫의 수집은 일반적으로 올바른 인자 의 부분 집합 을 산출한다 . $S_R$
계산 후 의 -stable 폐쇄 의 부분 집합의 교집합 형성하여 실제로 수행 할 수 있습니다, 하고이 방법으로 얻은 일부 추가 . $\cap$ $S_R$ $S_R$ $S_R$
이전 단계의 모든 교차점과 함께 세트 은 의 올바른 인수 세트입니다 . $S_R$ $L$
왼쪽 인자를 얻기 위해 의 오른쪽 몫을 계산할 수 있습니다 . $L$
이러한 형태의 집합 인 용 . 이제이 다시 단지 유한 한 많은, 그리고에 대한 , 우리가 의 경우에만 모든 , , 즉 정확히 동일한 문자열 집합으로 언어의 단어 앞에 접두사를 붙일 수 있습니다. $Ly^{-1}$ $y\in \Sigma^\ast$ $x\neq y$ $Ly^{-1} = Lx^{-1}$ $u\in \Sigma^\ast$ $ux \in L \Leftrightarrow uy \in L$
을 계산하려면 가 의 미래에 포함 되도록 상태 를 고려 하십시오 . 그러한 국가들의 과거의 연합은 하나의 올바른 몫을 구성합니다. 이 모든 몫을 찾으십시오. $Lx^{-1}$ $q$ $A$ $x$ $q$
당신은 당신이 당신이 올바른 요인만큼 많은 왼쪽 요인을 발견했을 때 완료되었음을 알고 있습니다.
좌우 요인들 쌍 찾기 그러한 . 이것은 입니다. $X,Y$ $X\cdot Y \subseteq L$ $\mathcal{F}_L$

유니버설 기계적으로 롬바르디아 및 Sakarovitch에 의해 (의 논리와 게임, 2 권의 교과서 : 논리와 오토마타 : 역사와 전망 , 2007)

— 고넬료 브랜드
소스

좋은! 하자 노트는 것을 이러한 요인 정규 언어에 대한 그 decidable입니다 , 폐쇄 속성에 정기적으로 인해 끝나게. 따라서 요약에서 마지막 글 머리 기호를 효과적으로 계산할 수있을뿐만 아니라 최대 쌍을 필터링 할 수도 있습니다.

A \subseteq B

$A \subseteq B$

X

$X$

Y

$Y$

— Raphael