FPTAS의 모든 문제가 FPT에도있는 이유는 무엇입니까?

FPTAS의 모든 문제는 고정 매개 변수 다루기 쉽습니다.

이 결과는 놀랍습니다.이 클래스는 서로 완전히 다른 것처럼 보입니다. FPTAS는 근사하기 쉬운 방법으로 문제를 특성화하고, FPT는 일부 매개 변수에 비해 어려움으로 문제를 특성화합니다. 불행히도, Wikipedia (현재이 질문을하는 시점)는 이에 대한 인용을 제공하지 않습니다.

이 결과에 대한 표준 증거가 있습니까? 아니면이 연결에 대해 더 배우기 위해 상담 할 수있는 출처가 있습니까?

— templatetypedef
소스

이 진술, 카이 첸 (JCSS97)의 정리이다 " NP에 최적화 문제가 완전히 다항 시간 근사 해법이있는 경우, 다음은 고정 매개 변수입니다 다루기 쉬운을. "종이를 참조하십시오 NP 최적화의 고정 매개 변수 추적성에 초점을 맞추고 및 Approximability에 문제 .

— Pål GD

그리고 물론, 결과적으로, 당신은 " 균등 감소 하에서 단순한 NP 최적화 문제는 아니면 완전히 다항식 근사 방식을 갖지 않습니다 $W[1]$ $W[1] = FPT$ ."

— Pål GD

@ PålGD- 매개 변수화의 선택은 다소 임의적 인 것으로 보이지만; 문제 입력에 대한 최적 솔루션의 값으로 매개 변수를 선택합니다. 나는 지적 적으로 그다지 만족 스럽지는 않지만 기술적으로 효과가 있다고 생각합니다.

— templatetypedef

Luke Mathieson은 아래에 매우 훌륭한 답변을했으며, 귀하의 질문에 대답하면 충분하다고 생각합니다.

— Pål GD

실제로 더 강한 결과가 있습니다. 문제점은 클래스 내의 그것이 있다면 fptas을 ¹ 일 : -approximation 의해 경계가 시간에 실행 (즉, 크기와 근사 계수 모두에서 다항식). 바인딩 된 시간을 완화 하는보다 일반적인 클래스 가 있습니다. 본질적으로 근사 계수와 관련한 실행 시간 $\mathrm{FPTAS}$ $\varepsilon$ $(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{EPTAS}$ $f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{FPT}$

분명히 의 부분 집합입니다 , 그것은 밝혀 의 하위 집합입니다 다음과 같은 의미 : $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

정리 NPO 문제 경우 갖는다 $\Pi$ eptas를 다음 의 해결책 고정 파라미터 취급 용이의 선정에 의해 파라미터. $\Pi$

정리와 증명은 Flum & Grohe [1]에서 Theorem 1.32 (pp. 23-24)로 주어졌으며 그들은 Bazgan [2]에서 비롯된 것으로 Cai & Chen의 약한 결과보다 2 년 전 (프랑스어) 기술 보고서).

나는 그것이 정리의 좋은 증거라고 생각하기 때문에 증거의 스케치를 줄 것입니다. 단순화를 위해 최소화 버전을 수행하고, 최대한 정신적으로 적절한 반전을 수행합니다.

증명. 하자 수 eptas 위한 , 우리는 매개 변수화 된 알고리즘 구성 할 수있다 위한 용액 비용에 의해 파라미터 는 다음과 같이 주어진 입력 , 우리는 실행 입력에 어디 세트 $A$ $\Pi$ $A'$ $\Pi$ $k$ $(x,k)$ $A$ $x$ (즉, 우리는의 근사 비율을 선택합니다 $\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ ). 하자용액 일 수의 선정 될및의 실제 근사 비인에, 즉,. $1+\frac{1}{k+1}$ $y$ $\text{cost}(x,y)$ $y$ $r(x,y)$ $y$ $\text{opt}(x)$ $\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

경우 , 다음에 동의 명확 . 경우 로서 거부 $\text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{cost}(x,y) > k$ 로이다eptas및 $r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$ $A$

고르다 (엑스) = \frac{비용 (엑스, 와이)}{아르 자형 (엑스, 와이)} \geq \frac{케이 + 1}{1 + \frac{1}{케이 + 1}} > 케이

$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$

물론 당신은 행 실행 시간 얻을 에서 단순히 되는 eptas을 . $A'$ $A$ $\Box$

물론, Pål이 지적한 바와 같이, 파라미터 화 된 경도 결과 는 붕괴가 없다면 eptas가 존재하지 않음을 의미 하지만, eptas (또는 ptas ) 가없는 에는 문제가 있으므로 는 엄격합니다. 서브 세트 (정리의 의미에서). $\mathrm{FPT}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

각주 :

fptas (등가 eptas 또는 학부모 교사가 ) 상기 한 바와 같이 경계 주행 시간 근사 방식이다. 클래스 (당량. , ) 문제들의 세트 인 와 같은 방식이있다. $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{PTAS}$ $\mathrm{NPO}$

[1] : J. Flum and M. Grohe, 매개 변수화 된 복잡성 이론 , Springer, 2006.
[2] : C. Bazgan. Schémas d' approximation et complexité paramétrée , Rapport de DEA, Université Paris Sud, 1995.

— 루크 매티 슨
소스