스캇 연속 함수 : 대체 정의

나는이 속성으로 정말로 고투하고있다 :

하자 될 간섭 공간 및 일 단조 함수. 인 경우에만 는 지시 된 집합이 되도록 모든 에 대해 연속적입니다.$X,Y$f f ( ⋃ x ∈ D x ) = ⋃ x ∈ D f ( x ) D ⊆ C l ( X ) $f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

지시 된 집합 은 다음과 같이 정의됩니다 : POSET 은 지시 된 집합 iff 와 같은 및 입니다. 는 도당을 나타냅니다 : 코 히어 런트 .$D \subseteq$∃ z ∈ D x ⊆ z x ′ ⊆ z C l ( X ) { x ⊆ | X | ∣ a , b ∈ x ⇒ a b $\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

많은 책들이 Scott-continuous 함수 의 정의로 이것을 제공 하지만 불행히도 선생님은 아닙니다. 그는 우리에게 연속의 정의를 주었다 :

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ 는 단음이고 $\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$ ,
여기서 모노톤 은 다음과 같이 정의됩니다 : $f$ 는 모노톤 iff $a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

이것이 내가 제안한 증거이지만 마지막 방정식을 이해할 수 없습니다.

증명 $f$ 연속 내포 $f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
하자 $b \in f(\bigcup D)$ . 연속성의 정의에 따라 $\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$ 입니다. 참고 것을 $x_0$ 의 조합은 $\{ x_i \mid x_i \in D\}$ .
경우 $D$ 다음 다이렉트 : $\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$ 다음 $x_0 \subseteq z$ . 단조로 정의하면 $f(x_0)\subseteq f(z)$ 이므로 $b \in f(z)$ (???) $\subseteq \bigcup f(D)$ 입니다. 그리고 사실조차도 우리는 $\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$ 가 아니라$\subseteq$ .

다른 의미의 증거는 더 나빠서 여기에 쓸 수 없습니다 ... 증거가 어떻게 작동하는지 설명해 주시겠습니까?

선생님이 사용하는 연속성의 정의가 더 좋습니다. 연속성이 의미하는 바를 구체적으로 알려줍니다.

가정하자 . 즉 , x의 모든 정보 , 가능한 한 무한한 토큰 세트 (원자) 가 주어지면 함수는 원 자성 정보 b 를 갖는 일부 요소를 생성합니다 . (다른 정보도있을 수 있지만 현재는 그 점에 대해 걱정하지 않습니다.) 교사의 정의에 따르면 출력 정보 b 를 생성하기 위해 x의 모든 무한 정보를 볼 필요는 없습니다 . x의 일부 유한 서브 세트로 충분합니다.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(1987 년 옥스포드 멜빈 피팅 (Melvin Fitting)의 저서 "계산 이론, 의미론 및 논리 프로그래밍")은이 속성 소형화를 말하며 연속 함수를 모노톤 소형화 라고 정의합니다.

이것이 연속성 의 본질 입니다. 함수의 출력에 대한 유한 한 양의 정보를 얻으려면 입력에 대한 유한 한 양의 정보 만 필요합니다. 무한 입력에 대한 함수에 의해 생성 된 출력은 무한 입력의 모든 유한 근사값에 대해 생성 된 정보를 함께 연결하여 얻습니다 . 다시 말해, 유한 근사치에서 무한한 결합으로가는 마법의 점프는 없습니다. 당신이 무한대로 무엇이든간에 당신은 이미 유한 한 단계에 있어야합니다.

표준 방정식 는보기에 꽤 좋지만 위에서 설명한 모든 직관을 알려주지는 않습니다. 그러나 수학적으로는 교사의 정의와 동일합니다.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

것을 보여 , 그것이 보여 충분하다 F ( X를 ) 포함되어 F ( ⋃ X ∈ D X ) , 각 X ∈ D . 하지만 그 단순성의 문의 다음 F 인해 X ⊆ ⋃ X ∈ D X . 이것이 "쉬운"방향입니다.$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

교사가 증명 한 다른 방향은 흥미로운 것입니다 : . 이것을 보려면 위에서 언급 한 직감을 사용하십시오. 왼쪽 의 원자 정보 b 는 입력의 유한 근사값에서 나온 것입니다 : x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . 즉, b ∈ f ( x 0 ) 입니다. x 0 부터$f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$유한 세트이며 방향이 지정된 집합의 합집합에 포함됩니다. 방향이 지정된 집합에 보다 큰 것이 있을 수 있습니다. 아마도 x 0 자체 일 것 입니다. 이 요소를 z라고 합니다. 단순성에 의해, F ( X 0 ) ⊆ F ( Z ) . 따라서 b ∈ f ( z ) 입니다. 이후 Z ∈ D , F ( Z ) ⊆ ⋃ X ∈ D F ( X ) . 이제 $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$오른쪽에도있는 것으로 보입니다. QED.

앞에서 언급했듯이, 교사의 연속성이 예쁜 방정식이라는 것을 암시한다는 것은 쉬운 일입니다. 더 어려운 것은 예쁜 방정식이 많이 말하지 않는 것처럼 보이지만 실제로는 선생님의 정의에있는 모든 것을 말하고 있다는 것을 보여주는 것입니다.

마지막 응답을 쓴 후, 제가 대답 할 때 설명했던 연속성의 정의는 연속성의 토폴로지 개념이라는 것이 뒤늦게 나에게 일어났습니다 . 컴퓨터 과학 교과서에 일반적으로 언급 되는 대수 연속성 구성은 모든 토폴로지 직관을 숨 깁니다. (실제로 Dana Scott은 컴퓨터 과학자들에게 익숙하지 않기 때문에 토폴로지 공식을 의도적으로 피했다고 종종 글을 썼습니다.)

대수 및 토폴로지 구성 간의 연결을 Stone duality 라고하며 ,이 연결 자체가 컴퓨터 과학에 매우 중요하다는 것이 점점 분명 해지고 있습니다.

이러한 연결 (및 기타)에 대한 개념 설명은 Abramsky의 정보, 프로세스 및 게임을 참조하십시오 .