적대적 인수를 사용하여 k 번째 가장 작은 요소를 찾기위한 하한

많은 텍스트에서 번째로 작은 요소 를 찾기위한 하한값 은 중간 값을 사용하는 인수를 사용하여 파생됩니다. 대적 논증을 사용하여 어떻게 찾을 수 있습니까?$k$

Wikipedia에 따르면 토너먼트 알고리즘은 로 실행되며 n − k + ∑ n j = n + 2 − k ⌈ $O(n+k\log n)$ 는 하한 으로주어진다.$n - k + \sum_{j = n+2-k}^{n} \lceil{\operatorname{lg}\, j}\rceil$

나는 적대적인 논쟁의 스케치를 간략하게 설명 할 것이다.

우리가 적이라고 부르는 상대방에 대해 선택 알고리즘을 재생하는 것을 고려하십시오. 적의 목표는 알고리즘에 의해 수행되는 비교 연산의 수를 최대화하는 알고리즘에 대한 입력 $X$ 를 제공하는 것입니다. 실제로 알고리즘은 경로가 부분 순서에 해당하는 비교 트리로 볼 수 있습니다. 알고리즘이 적의 요소 쌍 $(x, y)$ 에 대해 적에게 물을 때, 적은 $x < y$ 또는 $y < x$ 반환합니다 . 적의 대답은 이전 결과와 모순 될 수 없습니다.

가정 그 $k$ 번째로 큰 원소 $x^*$ : 비교 트리의 모든 리프에 관련된 부분 순서를 고려하면, 다음 $x^*$ 알고리즘은 알고리즘이 있어야 그래서, 정확하기 위해서 다른 모든 요소와 비교 가능해야 만들어진 적어도 하나 개의 비교 $(y, z)$ $\forall y \neq x^*$ 그 결과 중 하나 인 $y < z \leq x^*$ 또는 $x^* \leq z < y$ . 요소 y에 중요한 비교를 호출하십시오.$y$. 분명히, 대적은 알고리즘에 의해 수행되는 비 결정적 비교의 수를 최대화하기를 원합니다.

하자 $L$ 들의 집합 $k−1$ 큰 요소; 알고리즘은 $L$ 모든 요소와 $X \setminus L$ 의 가장 큰 요소 , 즉 $x^*$ 를 정확하게 식별해야합니다 . $X \setminus L$ 각 원소가 하나 이상의 중요한 비교를 잃어버린 것을 관찰하십시오 . 이제 대적은 L의 각 $k - 1$ 요소가 적어도 ⌈ lg n 을 이길 수 있는 전략을 가지고 있습니다.$L$$\left\lceil {\lg \frac{n}{{k - 1}}} \right\rceil$비교,$X \setminus L$중요한 것은 없습니다. X∖L에대한나머지$n - k$결정적인 비교를추가하면하한을 얻습니다. 자세한 내용은 다음의 Jeff Erikson메모를 참조하십시오.$X \setminus L$