'제로원'직소 퍼즐은 NP- 완전합니까?

타일링의 약간의 변형 인 '지그 소 퍼즐'에 관심이 있습니다. (사각형) 타일의 각 가장자리에는 의 기호가 표시되어 있으며 두 개의 타일을 인접하게 배치 할 수 있습니다 한 타일의 마주 보는 가장자리에 있는 기호 가 k 이고 다른 타일의 마주 보는 가장자리에있는 기호 가 ˉ k 인 경우 서로 k ∈ { 1 … n } 입니다. 그런 다음 m 2 타일 세트가 주어지면 m × m에 배치 할 수 있습니다$\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$모든 모서리가 올바르게 일치하는 사각형 (회전하지만 타일을 뒤집지 않음)? (이 문제에는 4 개의 '프레이밍'에지가 제공되고 조각이 해당 프레임에 올바르게 맞아야 하는 변형이 있습니다 .)$1\times m$

나는이 문제가 충분히 큰에 대한 NP-완료 알고 ,하지만 난에서 본 것을 경계 N은 상당히 큰 것 같다; 작은 값의 n 과 특히 n = 1 인 '제로 원'의 경우 (모든 모서리에 0 또는 1로 레이블이 지정 되고 0 이있는 모서리는 1 이있는 모서리와 일치해야합니다.$n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$). 여기에는 6 개의 타일 유형 (모두 0 타일, 올 타일 타일, 3 개의 0과 1이있는 타일, 3의 1과 0이있는 타일, 2 개의 0이있는 2 개의 별개의 타일)이 있습니다 (회전 대칭) 두 가지 중 하나는 '0011'과 '0101')이므로 문제의 인스턴스는 의 사양 과 5 개의 숫자 T 0000 , T 0001 , T 0011 , T 0101 , T 0111 및 T 1111 (카운트를 나타냄)입니다. T 0000 + T 0001 + T 0011 + T 의 각 타일 유형)$m$$T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$ 입니다. 솔루션은 간단하게 다항식 (m) 시간내에 전시되고 확인될 수 있지만 NP- 완전한 것으로 알려져 있거나 동적 프로그래밍 알고리즘이있을수 있기 때문에문제는 분명히 NP (단항으로 주어진m과 함께)에 있습니다. 여기에 적용됩니까? 문제 사양에 정사각형의 네 모서리가 포함 된 '프레임'사례는 어떻습니까? (프레임되지 않은 케이스가 NP- 완료된 경우 프레임 된 케이스도 거의 확실합니다)$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$

작은 값의 대해이 문제를 해결하는 데 관심이 있다고 언급 했으므로 SAT 솔버 또는 정수 선형 프로그램 (ILP) 으로이 문제를 구현하는 것이 좋습니다. 제약 조건을 인코딩 할 수 있지만 약간 다른 방식으로 인코딩 할 수 있습니다.$n$

• SAT의 경우, 어떤 타일이 각 정사각형에 들어가는지를 매우 깨끗하게 인코딩하고, 각 종류의 타일 수 (비트 산술 사용)에 대한 제약을 약간 덜 깨끗하게 인코딩합니다.

• ILP의 경우, 사용 가능한 각 종류의 타일 수와 관련하여 제약 조건을 매우 깨끗하게 인코딩하고 타일이 서로 인접 할 수있는 제약 조건을 약간 덜 깨끗하게 인코딩합니다 (그러나 여전히 표현 가능합니다. ILP에서 임의의 부울 수식을 표현하십시오).

중소형 의 경우이 접근법이 효율적으로 작동 할 것으로 기대합니다 .$n$