스윕 라인 별 직사각형 범위

불행히도 나는 혼자서 성공하지 못했습니다.

사각형 세트가 있습니다 $R_{1}..R_{n}$ 그리고 직사각형 $R_{0}$. 평면 스위핑 알고리즘을 사용하여$R_{0}$ 완전히 세트에 의해 덮여있다 $R_{1}..R_{n}$.

스윕 라인 알고리즘의 원리에 대한 자세한 내용은 여기를 참조 하십시오 .

처음부터 시작합시다. 처음에는 스윕 라인 알고리즘을 두 개의 데이터 구조가 필요한 라인 세그먼트 교차점 을 찾기위한 알고리즘으로 알고 있습니다 .

• 세트 $Q$ 이벤트 포인트 (세그먼트 및 교차점의 엔드 포인트를 저장함)
• 상태 $T$ (스위프 라인이 교차하는 세그먼트 세트에 대한 동적 구조)

일반적인 아이디어 : 스윕 라인을 가정$l$왼쪽에서 사각형 세트에 접근하기 시작하는 수직선입니다. 모두 정렬$x$ 사각형의 좌표를 저장하고 $Q$ 오름차순-걸릴 $O(n\log n)$. 첫 번째 이벤트 지점부터 시작하여 모든 지점에 대해 주어진 사각형 세트를 결정하십시오.$x$ 좌표, 교차 사각형의 연속 세그먼트를 식별하고 그들이 커버하는지 확인 $R_{0}$ 완전히 현재 $x$동등 어구. 와$T$ 이진 트리로 $O(\log n)$. 의 경우$R_{0}$ 발견되지 않은 채 $R_{0}$ 완전히 커버되지 않았습니다.

세부 사항 : 세그먼트 교차 알고리즘의 아이디어는 인접한 세그먼트 만 교차한다는 것이 었습니다. 이 사실을 바탕으로 우리는 지위를 구축했습니다.$T$알고리즘 전체에 걸쳐 유지했습니다. 이 경우 비슷한 아이디어를 찾으려고 노력했지만 지금까지 성공하지 못했습니다. 단일 두 사각형이 해당하는 경우 교차합니다.$x$ 과 $y$ 좌표가 겹칩니다.

문제는 구축하고 유지하는 방법입니다 $T$구축 및 유지 관리의 복잡성 $T$입니다. 이 경우 R 트리 가 매우 유용 할 수 있다고 생각하지만 R 트리 를 사용하여 최소 경계 사각형을 결정하는 것은 매우 어렵습니다.

이 문제를 해결하는 방법, 특히 빌드하는 방법에 대한 아이디어가 있습니까? $T$?

시작하자 $n$일종의 쉬운 직접 인수가 있기 때문에 축 정렬 사각형. 수직선을 쓸어 보겠습니다. 이벤트는 사각형의 가로 가장자리 끝점입니다. 스윕 할 때 스윕 라인에서 "발견 된"간격을 유지합니다.$R_i$, $i\ge 1$:

• 직사각형으로 덮인 수직 간격을 추가하십시오 $R_i$ 처음 만났을 때 스윕 라인으로 $R_i$
• 직사각형으로 덮인 수직 간격을 제거하십시오. $R_i$ 지나갈 때 스윕 라인에서 $R_i$

이진 트리를 사용하면 쉽게 업데이트 할 수 있습니다. $O(\log n)$시각. (문제는 본질적으로 1 차원입니다. 끝 점이 가리지 않는 간격인지 확인하고 제거 할 때 끝점을 추가하고 늘릴 때 적절하게 확장 / 병합합니다.)

그런 다음 $R_0$, 발견 된 간격이 수직 범위와 교차하지 않습니다. $R_0$. 모든 것은$O(n\log n)$ 시간 $O(n)$ 우주.

일반적인 경우, 명백한 트릭은 그리 빠르지 않습니다. 표준 스윕 라인 알고리즘을 사용하여 사각형으로 유도 된 전체 평면 분할을 계산하십시오.

분명히 디스크와 같은 세트 $F'$ 얼굴 덮개 $R_0$. 우리가 관심이있는 것은이 얼굴이 내부에 있는지 여부이기 때문에 그 자체로는 충분하지 않습니다.$R_0$다른 사각형 바깥쪽에 이를 위해 구성을 약간 수정하여 모서리를 추가 할 때 내부에 사각형의 ID로 한쪽에 태그를 지정합니다. 이것은 추가$O(1)$ 오버 헤드, 그래서 건설은 $O(n^2\log n)$시각; 사각형에 대한 가정이 없으면 출력은$\Omega(n^2)$ 우리는 최악의 경우에 그 많은 공간을 사용하고 있기 때문에 "출력에 민감하지"않지만 시간은 "실제적으로 최적"입니다.

드디어, $R_0$ 얼굴이없는 한 덮여있다 $F'$ 모서리 중 하나에 태그가없는 모서리 만 $R_i$. 요점은$f$ ~에있다 $R_i$그런 다음 전체 $f$뿐만 아니라. 한 줄을 쓸어가 있다고 상상해보십시오$f$ 이 가장자리를 따라 직교하여 $R_i$ 외부의 $f$ 또는 $f$ 하나 이상의 가장자리에 의해 경계 $R_i$.

결론은 특별한 경우는 $O(n\log n)$ 그리고 일반적인 것은 $O(n^2\log n)$ 적어도, 나는 그것이 향상 될 수 있다고 생각합니다.