“k-tape”Turing Machine의 테이프를“1-tape”Turing Machine의 단일 테이프에 매핑하는 방법

나는 Sipser를 읽고 있는데 k 테이프가있는 k Turing 기계를 제공하면 하나의 테이프로 동등한 Turing 기계를 뱉어 낼 수있는 과정이 무엇인지 이해하기가 어렵습니다. 좋은 예가 될 것입니다. 실제로 테이프 가있는 TM에서 1 개의 테이프가있는 TM으로 이동하는 방법을 보여주는 예제가 실제로 찾고 있습니다. 지금까지 찾지 못했습니다. 나는 또한 어떤 증거도 찾고 있지 않습니다. $k$

turing-machines simulation

— 사용자
소스

"동등한 기계"란 무엇을 의미합니까? 입력은 무엇이며 출력은 무엇입니까? (아마도 당신은 테이프를 가진 튜링 머신 하나를 의미했을 까요?)

k

$k$

— Yuval Filmus

예. k 테이프가있는 하나의 터닝 머신.

— user678392

뻔뻔에서 복사 대답 자신 :

멀티 테이프 튜링 머신은 확장 전환 기능 여기서 는 테이프 수입니다. 따라서 각 상태에서 전환 기능은 각 테이프의 내용을 읽고 새 상태로 이동하며 (아마도) 각 테이프에 무언가를 쓰고 각 헤드를 이동합니다. 이제 더 많은 것을 읽고 쓰는 것을 제외하고는 일반 TM처럼 움직여 $Q\times\Gamma^{k}\rightarrow Q\times\Gamma^{k}\times\{L,R\}^{k}$ $k$

귀하의 질문에서 알 수 있듯이 이러한 기계는 단일 테이프 TM 로 시뮬레이션 할 수 있습니다 . 또한 이차 감속만으로도 수행 할 수 있습니다 (따라서 다항식으로 닫힌 클래스의 경우 단일 테이프 기계에 대해 이야기하면 충분합니다).

이것에 대한 증거는 다소 복잡하고 간단한 웹 검색으로 쉽게 사용할 수 있으므로 테이프를 단일 테이프에 키 매핑하는 방법을 스케치하겠습니다 . $k$

기본 아이디어는 매우 간단합니다. 우리는 단순히 몇 가지 새로운 기호를 추가하고 각 테이프를 추적하고 차례로 머리를 움직입니다. 계산의 각 단계에서 우리는 한정된 양의 테이프 만 방문 할 수 있었으므로 각 테이프에 대한이 많은 정보 만 저장하면됩니다. 따라서 각 우리는 새로운 심볼 추가 에 (각 테이프) 헤드는 연산의 모든 지점에 위치를 표시한다. 또한 "가상"테이프의 시작과 끝을 나타내는 분리 문자 ~ 를 소개합니다 . 주어진 입력 $\gamma \in \Gamma$ $\underline{\gamma}$ $\Gamma$ $\#$ $\Gamma$ $\omega = \omega_{1}\ldots\omega_{n}$ (우리는 멀티 테이프 머신에서도 모든 입력이 첫 번째 테이프에 있다고 가정 할 수 있습니다. 멀티 테이프 머신에서는 싱글 테이프 머신에

\underset{k sections, one per tape}{\underset{⏟}{# \underline{ω_{1}} \dots ω_{n} # \underline{⊔} # \underline{⊔} # \dots # \underline{⊔} #}} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\underbrace{\#\underline{\omega_{1}}\ldots\omega_{n}\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\ldots\#\underline{\sqcup}\#}_{k \text{ sections, one per tape}}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

그런 다음 단일 테이프 기계의 상태를 사용하여 다중 테이프 기계의 상태와 헤드가보고있는 것을 인코딩합니다. 단일 테이프 기계의 전이 기능은 다중 테이프 전이 기능의 다단계 시뮬레이션으로, 다른 테이프 동작을 적절히 수행 하여 단일 테이프를 각 섹션으로 차례로 이동시킵니다. 남은 주름은 섹션의 공간이 부족할 때 모든 것을 이동시킵니다 (그러나 이러한 하위 머신은 간단한 연습입니다). 우리는 각 섹션의 크기를 절대로 줄이지 않습니다. $k$

(희망스럽게) 간단한 예 :

입력 알파벳이 이고 테이프 알파벳이 이고 입력이 . 머신의 초기 테이프 상태는 다음과 같습니다. " "는 각 테이프에서 읽기 / 쓰기 헤드의 위치를 나타냅니다. $\Sigma=\{0,1\}$ $\Gamma=\{0,1,\sqcup\}$ $\omega=10101$

\begin{array}{lc} Tape 1: & \underset{\land}{1} 0101 ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 2: & \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 3: & \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & \underset{\wedge}{1}0101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$

\land

$\wedge$

결합 된 단일 테이프 기계를 구성하려면 테이프 알파벳에 새로운 기호를 추가해야합니다.

시뮬레이션 된 테이프의 시작과 끝을 나타내는 기호가 필요합니다
각 기호에 대해 시뮬레이션 된 테이프 헤드가 시뮬레이션 된 테이프의 해당 문자에 있음을 나타내는 버전도 필요합니다. $\Gamma$

따라서 단일 테이프 시스템의 경우 새 테이프 알파벳은 입니다. 테이프의 초기 상태는 다음과 같습니다. 머신 헤드 ( )와 3 개의 시뮬레이션 된 테이프 (밑줄이 그어진 문자)의 시뮬레이션 헤드의 차이점에 유의하십시오 . 물론 테이프는 평소와 같이 오른쪽으로 무한대로 확장됩니다. 나는 또한 테이프 머리를 첫 번째 줄의 첫 번째 문자로 움직여서 가볍게 속였다. 엄밀히 말하면 가장 왼쪽 셀에서 시작해야하지만 이것은 사소한 기술입니다. $\Gamma' =\{0,1,\sqcup,\underline{0},\underline{1},\underline{\sqcup},\#\}$

# \underset{\land}{\underline{1}} 0101 # \underline{⊔} # \underline{⊔} # ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\#\underset{\wedge}{\underline{1}}0101\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

\land

$\wedge$

따라서 우리는 원래 기계의 3 개의 테이프에 해당하는 3 개의 마크 아웃 섹션 ( 표시 사이 )을 가지고 있습니다. $\#$

이제 기계에 대한 조치를 만들어 봅시다. 의 그것이 보는 경우 원래 기계가 첫 번째 테이프에서 읽어한다고 가정 해 봅시다 , 그것은 기록 번째 테이프에가 보는 경우, 그것은 기록 세 번째 테이프에. 읽거나 쓸 때마다 헤드가 오른쪽으로 이동합니다. $1$ $1$ $0$ $1$

따라서 첫 번째 "단계"(실제 머신에서 여러 상태 및 전환이 필요할 수 있음) 후에 테이프는 두 번째 테이프에서 을 가져야하며 첫 번째 및 두 번째 헤드는 한 단계 오른쪽으로 이동합니다. $1$

\begin{array}{lc} Tape 1: & 1 \underset{\land}{0} 101 ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 2: & 1 \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 3: & \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 1\underset{\wedge}{0}101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$

두 번째로 돌아 가면서 첫 번째 테이프는 읽으 므로 대신 세 번째 테이프에 씁니다. $0$

\begin{array}{lc} Tape 1: & 10 \underset{\land}{1} 01 ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 2: & 1 \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 3: & 1 \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 10\underset{\wedge}{1}01\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$

단일 테이프 머신은 밑줄을 이동하여 ( 의 대체 문자 버전을 사용 하여 적절한 시뮬레이션 테이프에 기록함으로써)이를 시뮬레이션합니다. 따라서 첫 번째 단계 후에 결합 된 테이프는 다음과 같습니다. $\Gamma'$

# 1 \underset{\land}{\underline{0}} 101 # 1 \underline{⊔} # \underline{⊔} # ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\#1\underset{\wedge}{\underline{0}}101\#1\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

두 번째 단계 후 :

# 10 \underset{\land}{\underline{1}} 01 # 1 \underline{⊔} # 1 \underline{⊔} # ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\#10\underset{\wedge}{\underline{1}}01\#1\underline{\sqcup}\#1\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

물론 이것은 프로세스에 대한 높은 수준의 견해입니다. 상태를 구성하는 방법이나 각 시뮬레이션 테이프가 길어지는 방법을 설명하지 않았습니다 (이를 위해, 당신은 그런 다음 시뮬레이션 테이프의 끝 부분을 모두 오른쪽으로 한 단계 씩 이동하고 새로운 공백으로 압축합니다. 즉, 필요할 때 시뮬레이션 테이프 셀만 추가합니다.

— 루크 매티 슨
소스

또는 별도의 " 트랙 "을 사용 하여 동일한 공간에서 별도의 테이프를 서로 옆에 씁니다. 그러나 그것은 새로운 알파벳의 소개를 포함합니다.

— Hendrik 1

@ user678392 구성을 자세히 살펴보고 여기에 모두 쓰려면 적어도 몇 시간이 걸릴 것입니다. 당신이 이해하지 못하는 부분조차도 설명하지 않는다면 왜 누군가가 당신을 위해 그렇게 많은 노력을 기울여야합니까? 누군가가하면 어떻게해야합니까? 당신은 "나는 그것을 이해하지 못한다. 다른 사람이 그것을한다"고 말할 것인가?

— David Richerby

감사합니다. 그리고 명확하게 말하면, 당신이 어려움을 겪고있는 영어입니까 (즉, 도움이 될 것입니다) 설명에 더 자세한 내용이 필요합니까?

— David Richerby

@ user678392, 변환의 첫 단계에 대한 높은 수준의 관점과 테이프의 실제 출력에 대한 예를 추가했습니다. 새로운 상태 집합을 구성하는 방법에 대해 논의하지 않았습니다. 매우 복잡하고 Sipser 또는 그와 비슷한 것보다 더 나은 설명을 얻지 못합니다. 본질적으로 어리 석고 수학적입니다.

— Luke Mathieson

@RomaKarageorgievich 지난 5 년간 많은 분명한 증거가 사라진 것 같습니다 (인터넷을 믿지 마십시오 : D). 내가 찾은 가장 명확한 것은 여기에 있습니다 (경고, .doc 파일!). 이 책에 접근 할 수 있다면 Martin의 "언어 입문과 계산 이론"의 증거는 상당히 좋습니다 (제 4 판 244 페이지). Sipser의 "계산 이론 입문"의 증거로 충분합니다 (3 판 Ed. 177 페이지).

— Luke Mathieson