계 승률을 소수로 계산하는 가장 효율적인 방법은 무엇입니까?

계수 후 계수를 효율적으로 계산하는 알고리즘을 알고 있습니까?

예를 들어 프로그래밍하고 싶습니다.

for(i=0; i<5; i++)
  sum += factorial(p-i) % p;

그러나 p계승을 직접 적용하기위한 큰 숫자 (프라임)입니다 $(p \leq 10^ 8)$ .

파이썬에서는이 작업이 정말 쉽지만 최적화 방법을 알고 싶습니다.

(이 답변은 처음에 질문 안에 asker jonaprieto 에 의해 게시되었습니다 .)

나는 윌슨의 정리를 기억 하고 작은 것들을 알아 차렸다.

위의 프로그램에서 다음을 쓰면 더 좋습니다 :

$$\begin{align} (p-1)! &\equiv -1 &\pmod p\\ (p-2)! &\equiv (p-1)! (p-1)^ {-1} \equiv \bf{1} &\pmod p\\ (p-3)! &\equiv (p-2)! (p-2)^ {-1} \equiv \bf{(p-2)^{-1}} &\pmod p\\ (p-4)! &\equiv (p-3)! (p-3)^ {-1} \equiv \bf{(p-2)^{-1}} \bf{(p-3)^{-1}} &\pmod p\\ \ (p-5)! &\equiv (p-4)! (p-4)^ {-1} \equiv \bf{(p-2)^{-1}} \bf{(p-3)^{-1}}\bf{(p-4)^{-1}} &\pmod p\\ \end{align}$$

그리고 당신은 찾을 수 때문에 , 그래서와 확장 된 유클리드 알고리즘 당신의 가치 찾을 수 있습니다 , 즉이다 역 계수.$(p-i)^{-1}$$\operatorname{gcd}(p, p-i) = 1$$(p-i)^{-1}$

와 같이 동일한 합치를 볼 수도 있습니다 이므로 합은 그리고 처음에 계승을 인수 분해하면 를 얻게됩니다. 그리고 voila, 역 계수는 계승보다 더 효율적입니다.

$$\begin{align*} (p-5)! &\equiv (p-24)^{-1}&\pmod p\\ (p-4)! &\equiv (p+6)^{-1}&\pmod p\\ (p-3)! &\equiv (p-2)^{-1} &\pmod p\\ (p-2)! &\equiv 1&\pmod p\\ (p-1)! &\equiv -1&\pmod p\\ \end{align*}$$ $$(-24)^{-1}+(6)^{-1} +(-2)^{-1}$$ $$8\cdot (-24)^{-1} \pmod p$$

게시 한 예는 Euler problem # 381과 매우 밀접한 관련이 있습니다. 따라서 오일러 문제를 해결하지 못하는 답변을 게시하겠습니다. 나는 계 승률을 소수로 계산하는 방법을 게시 할 것입니다.

그래서 : n을 계산하는 방법! 모듈로 p?

빠른 관찰 : n ≥ p이면 n! 인수 p를 가지므로 결과는 0입니다. 매우 빠릅니다. 그리고 p가 소수 여야한다는 요구 사항을 무시하면 q는 p의 가장 작은 소수이며, n! n ≥ q 인 경우 모듈로 p는 0입니다. 또한 p가 귀하의 질문에 대답 할 수있는 주요한 이유는 아닙니다.

이제 당신의 예에서 (n-i)! 1 ≤ i ≤ 5가 나타났다. 5 개의 계승을 계산할 필요가 없습니다. (n-5)!를 계산하고, (n-4)를 곱하면 (n-4)가됩니다!, (n-3)을 곱하면 (n-3)이됩니다! 이것으로 작업이 거의 5 배 줄어 듭니다. 문제를 말 그대로 해결하지 마십시오.

문제는 n을 계산하는 방법입니다! 모듈로 m. 확실한 방법은 대략 n log n 소수 자릿수 인 n!을 계산하고 나머지 모듈로 p를 계산하는 것입니다. 힘든 일입니다. 질문 :이 결과를 어떻게 더 빨리 얻을 수 있습니까? 명백한 일을하지 않음으로써.

우리는 ((a * b * c) 모듈로 p = (((a * b) 모듈로 p) * c) 모듈로 p.

n!을 계산하려면 일반적으로 x = 1로 시작한 다음 x에 1, 2, 3, ... n을 곱합니다. 모듈로 공식을 사용하여 n을 계산합니다! x = 1로 시작하여 n!를 계산하지 않고 모듈로 p를 계산 한 다음 i = 1, 2, 3, .., n에 대해 x를 (x * i) 모듈로 p로 바꿉니다.

우리는 항상 x <p와 i <n을 가지고 있으므로, n *을 계산하는 데있어 더 높은 정밀도가 아니라 x * p를 계산하기에 충분한 정밀도 만 있으면됩니다. 그래서 n을 계산합니다! p ≥ 2의 모듈로 p는 다음 단계를 수행합니다.

Step 1: Find the smallest prime factor q of p. If n ≥ q then the result is 0.
Step 2: Let x = 1, then for 1 ≤ i ≤ n replace x with (x * i) modulo p, and x is the result. 

(일부 답변은 주어진 예제의 매우 특별한 경우에만 질문에 대답하고 윌러 문제 # 381을 해결하는 데 매우 유용하지만 일반적으로 묻는 질문을 해결하는 데는 유용하지 않은 Wilson의 정리를 언급합니다.)

이것은 윌슨 정리의 구현 사용입니다.

factMOD 함수는 MOD-n이 n에 대해 거의 없을 때 계산 (n!) % MOD를 호출하는 함수입니다.

그렇지 않은 경우 다른 효율적인 접근 방법을 알고 있습니까 (예 : n = 1e6 및 MOD = 1e9 + 7)?

ll powmod(ll a, ll b){//a^b % MOD
  ll x=1,y=a;
  while(b){
    if(b&1){
      x*=y; if(x>=MOD)x%=MOD;
    }
    y*=y; if(y>=MOD)y%=MOD;
    b>>=1;
  }
  return x;
} 
ll InverseEuler(ll n){//modular inverse of n
  return powmod(n,MOD-2);
}
ll factMOD(ll n){ //n! % MOD efficient when MOD-n<n
   ll res=1,i;
   for(i=1; i<MOD-n; i++){
     res*=i;
     if(res>=MOD)res%=MOD;
   }
   res=InverseEuler(res);   
    if(!(n&1))
      res= -res +MOD;
  }
  return res%MOD;
}