클러스터링 문제에 대한 최적의 욕심

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$|P| = n$ $k$ $k$ $n$ $C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$ $k$ $\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$ $D$ 입력 점 와 중심점 사이의 유클리드 거리를 나타냅니다 . 각 점은 정점을 다른 군집 으로 그룹화하는 가장 가까운 군집 중심에 자신을 할당 합니다. $p_i$ $c_j$ $k$

이 문제는 (이산 된) 클러스터링 문제 로 알려져 있으며 -hard입니다. 그것이에서 감소로 나타낼 수있다 - 완전한 지배 세트 문제점이 존재하는 경우 -approximation 알고리즘의 문제점에 대한 다음 . $k$ $\text{NP}$ $\text{NP}$ $\rho$ $\rho < 2$ $\text{P} = \text{NP}$

최적의 근사 알고리즘은 매우 간단하고 직관적입니다. 먼저 점 선택합니다 $2$ $p \in P$ 임의로 클러스터 중심 의 설정된 에 넣습니다 . 그런 다음 다른 모든 클러스터 센터에서 가능한 한 멀리 떨어진 다음 클러스터 센터를 선택합니다. 따라서 , 우리는 반복 점 발견 거리하는 최대화하고 추가로 . 한 번 우리는 끝났습니다. $C$ $|C| < k$ $j \in P$ $D(j,C)$ $C$ $|C| = k$

최적의 욕심 많은 알고리즘이 시간에 실행되는 것을 보는 것은 어렵지 않습니다 . 이것은 의문을 제기한다 : 우리는 시간을 달성 할 수 있는가? 우리는 얼마나 더 잘할 수 있습니까? $O(nk)$ $o(nk)$

algorithms computational-geometry

— Juho
소스

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가장 큰 공의 반지름이 최소화 되는 볼로 포인트 를 덮고 자하는 방식으로 문제를 기하학적으로 볼 수 있습니다 . $V$ $k$

는 실제로 달성하기가 매우 간단하지만 더 잘할 수 있습니다. 근사 클러스터링을위한 최적 알고리즘 인 Feder and Greene (1988 은보다 영리한 데이터 구조를 사용하여 의 실행 시간을 달성하고 대수 의사 결정 트리 모델에서 이것이 최적임을 보여줍니다. $O(nk)$ $\Theta(n \log k)$

— 유호
소스

1

내 질문 : 탐욕스러운 따기 전략을 시간 내에 실행할 수있는 방법이 있습니까? $o(|V|^2)$

당신이 설명 한 것 같습니다. 내가 당신의 설명을 너무 많이 읽었을 때, 여기 내가 이해 한 것이 있습니다. 각 요소를 요소까지의 거리의 합과 연관시키는 연관 데이터 구조를 갖습니다 . 이 데이터 구조는 까지의 거리로 비용 로 초기화 될 수 있으며이 초기화는 복잡성을 증가시키지 않으면 서 부작용으로 다음 요소를 생성 할 수 있습니다. 의 비용으로 새로운 요소를 선택한 후에 업데이트 하여 다음 요소를 부작용으로 다시 생성 할 수 있습니다. 를 얻기 위해 반복 $V$ $S$ $O(|V|)$ $p$ $O(|V|)$ $S$ . 결과 복잡도는 입니다. $O(k |V|)$

— 프로그래머
소스

1

그러나

의 한계에주의하십시오 . 최악의 경우에는 최대

. 더 나은 범위를 달성하는 데이터 구조가 있다고 생각하지만 실제로는 알지 못합니다.

k

$k$

| V |

$|V|$

— Juho

아차,

하지

질문한다. (질문에서 당신은

으로 돌아 왔 으므로 이것은 개선되어야합니다). 내가 제안하는 것은 유클리드 공간에서 일하고 있다는 사실을 사용하지 않으며, 더 잘하기 위해 사용해야한다고 생각하지만 현재는 방법을 알지 못합니다.

o

$o$

O

$O$

k^{3}

$k^3$

— AProgrammer