언어의 규칙성에 대한 충분하고 필요한 조건

다음 중 올바른 말은 무엇입니까?

1. 언어의 규칙성에 관한 충분하고 필요한 조건이 존재하지만 아직 발견되지 않았습니다.

2. 언어의 규칙성에 대해 충분하고 필요한 조건이 없습니다.

3. 펌핑 보조는 언어의 비 규칙성에 필요한 조건입니다.

4. 펌핑 보조는 언어의 비 규칙 성을위한 충분한 조건입니다.

나는 이 진술의 반대 가 사실이 아니기 때문에 # (4)가 정확하고 # (3)이 거짓 이라는 것을 알고 있다. (2)?

다음은 언어가 규칙적이되기위한 필요하고 충분한 조건입니다.

정리. 보자 . 다음 조건은 동일합니다.$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$ 은 정규식 (즉, 정규 언어의 정의)에 의해 생성됩니다.
• $L$ 은 비 결정적 유한 오토 마톤 ( Kleene )에 의해 인식됩니다 .
• $L$ 은 전이가 없는 비 결정적 유한 오토 마톤에 의해 인식됩니다 .$\varepsilon$
• $L$ 은 결정 론적 유한 오토 마톤 ( Scott and Rabin )에 의해 인식됩니다 .
• $L$ 은 문법 의해 생성되며 , 여기서 은 ( Frazier and Page ) 의 유한 하위 집합입니다 .$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$ 은 왼쪽 (각각 오른쪽) 일반 문맥없는 문법으로 생성됩니다.
• Nerode 관계 의 지수 는 유한합니다 (Anil Nerode, 선형 오토 마톤 변환 , 1958). 이것은 Myhill-Nerode 정리라고 널리 알려져 있습니다. 은 일반 언어의 최소 DFA를 작성하는 데 사용되는 관계입니다.$\equiv_L$$\equiv_L$
• Myhill 관계 의 인덱스 는 유한합니다 (John Myhill, 유한 오토마타 및 이벤트 표현 , 1957). 은 임의의 언어의 구문 를 만드는 데 사용되는 관계입니다.$\sim_L$$\sim_L$
• 의 구문 단일체 는 유한하다 (Myhill의 결과에 따른 결과). 여기에서 관계식 을 사용하여 정의되는 것과는 별도로, 구문 는 을 동 형체의 프리 이미지로 인식하는 최소의 (크기)로 정의 될 수 있음에 주목 한다.$L$$\sim_L$$L$
• $L$ 은 읽기 전용 Turing Machine (사소한)으로 인식 할 수 있습니다.
• $L$ 은 문자열을 통한 모나 딕 2 차 논리 ( Büchi ) 의 공식으로 정의 할 수 있습니다 .

언어가 일반 언어 에 대한 펌핑 보조 정리 의 조건을 만족 하지 않으면 규칙 이 아닙니다 . 이는 언어 의 비정규 성 을 위해 펌핑 보조가 충분한 조건임을 의미 합니다.

요약하면, 문장 1, 2 및 3은 거짓이며 진술 4는 참입니다.

(1)과 (2)를 반박하는 언어가 규칙적임을 증명하기 위해 DFA, NFA 또는 정규식의 존재를 보여주는 것으로 충분하고 필요합니다. 언어가 규칙적이지 않다는 것을 나타내려면 DFA, NFA 또는 정규식이 존재하지 않음을 보여 주어야합니다.

펌핑 보조는 DFA가 존재하지 않음을 보여줌으로써 언어가 규칙적이지 않다는 것을 (모순으로) 보여줄 수있는 유용한 도구입니다.

'정확하게 을 생성하는 정규 표현식이 있습니다'라는 조건 은 정의의 은혜 로 언어 L 의 규칙 성을 위해 필요하고 충분한 조건입니다 .$L$$L$

이 조건으로 인해 언어의 비 규칙 성을 쉽게 증명할 수있는 것은 아닙니다. 나는 비정규 언어의 비정규 성을 항상 입증하는 확인하기 쉬운 조건을 알지 못합니다.

언어의 비정규 성을 증명할 수있는 두 가지 '테스트'가 있습니다 (작동하지 않을 수도 있음). 노조 / 교차점 / 차이 / 연계 / 견적이 비정규 적이되도록 정규 언어를 제공 할 수 있습니다 ( 이와 같은 더 많은 연산이 있습니다), 생성 된 단어 수를 세어 보시고 링크 된 Wikipedia 페이지에서 볼 수 있듯이 일반 언어로 단어 수에 대한 표현과 모순되는지 확인하십시오.

공식 언어 이론과 Chomsky와 Schützenberger에 의해 증명 된 공식 권력 시리즈 사이에는이 놀라운 연관성이있다 [CS63] . [SS78] Chap. II, 정리 5.1

하자 정규 언어와 수 K semiring. 그런 다음 c h a r ( L ) 은 K- rational입니다.$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

따라서 언어 의 특성 시리즈 을 보면 합리적이지 않은 것으로 판명되면 정규 언어가 될 수 없습니다. 따라서 항상 펌핑 보조기구를 사용할 필요가 없습니다. 컴퓨터 대수 시스템의 도움으로 그러한 검사는 너무 어렵지 않습니다.$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Arto Salomaa와 Matti Soittola. 형식적 파워 시리즈의 오토마타 이론적 측면. Springer-Verlag, 1978 년 뉴욕.

[CS63] Noam Chomsky와 Marcel P. Schützenberger. 문맥이없는 언어의 대수 이론. P. Braffort 및 D. Hirschberg, 편집자, 컴퓨터 프로그래밍 및 형식 언어, 118–161 페이지. 1963 년 노스 홀랜드

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$