두 개의 n 자리 숫자를 곱하는 가장 빠른 알고리즘은 무엇입니까?

두 개의 n 자리 숫자를 곱하는 데 가장 빠른 알고리즘을 알고 싶습니다. 공간 복잡성을 완화 할 수 있습니다!

현재 Martin Fürer의 Fürer 알고리즘은 복소수에 푸리에 변환을 사용하는 의 시간 복잡성을가 집니다. 그의 알고리즘은 실제로 시간이 Schönhage 및 Strassen의 알고리즘을 기반으로합니다.$n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

학교는 곱셈 알고리즘보다 빠르게되는 다른 알고리즘의 시간 복잡도 갖는다 카라 츠바 승산되어 $O(n^{\log_{2}3})$ ≈ $O(n^{1.585})$ 및 시간 복잡도를 갖는다 TOOM 3 알고리즘 의 $Θ(n^{1.465})$

이것들은 빠른 알고리즘입니다. 곱셈을위한 가장 빠른 알고리즘을 찾는 것은 Computer Science에서 열린 문제입니다.

참고 문헌 :

1. 푸어 알고리즘
2. 많은 수의 FFT 기반 곱셈
3. 빠른 푸리에 변환
4. 톰 – 쿡 곱셈
5. Schönhage–Strassen 알고리즘
6. 가라 쓰바 알고리즘

avi로 나열된 FFT 알고리즘 은 큰 상수를 추가하므로 수천 비트 미만의 숫자에는 비실용적입니다.

이 목록 외에도 다른 흥미로운 알고리즘과 공개 질문이 있습니다.

• RAM 모델의 선형 시간 곱셈 (사전 계산 사용)
• 상수에 의한 곱셈은 서브 리니어 ( PDF )-총비트 복잡성을 얻는 서브 라인 수의 덧셈을 의미합니다. 이것은 본질적으로 긴 곱셈 (더 낮은 숫자에서s의 수를 기준으로 이동 / 추가) 인와 동일하지만속도 향상$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• 잔여 번호 시스템 및 기타 숫자 표현; 곱셈은 ​​거의 선형 시간입니다. 단점은 곱셈은 모듈 식이며 {오버 플로우 검출, 패리티, 크기 비교}는 숫자를 이진 또는 유사한 표현으로 다시 변환하고 전통적인 비교를 수행하는 것만 큼 어렵거나 거의 어렵다. 이 전환은 적어도 전통적인 곱셈 (현재 AFAIK)만큼 나쁩니다.
  • 다른 표현 :
    • [ 대수 표현 ] : 곱셈은 로그 표현을 더한 것입니다. 예 : $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • 단점은 대수적 표현으로의 변환이 곱셈처럼 어렵거나 어려울 수 있으며, 표현도 분수 / 비이성적 / 근사 적 등일 수 있습니다. 다른 연산 (더하기?)이 더 어려울 수 있습니다.
    • 정식 표현 : 소인수 분해의 지수로 숫자를 나타냅니다. 곱셈은 ​​지수를 더하는 것입니다. 예 : $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • 단점은 곱셈보다 훨씬 어려운 문제 또는 인수 분해가 필요하다는 것입니다. 추가와 같은 다른 작업은 매우 어려울 수 있습니다.