손으로 FFT를 수행하는 방법 표시

$3 + x$ 및 다항식이 있다고 가정하십시오 $2x^2 + 2$ .

FFT가 어떻게이 두 다항식을 곱하는 데 도움이되는지 이해하려고합니다. 그러나 해결 된 예제를 찾을 수 없습니다. 누군가 FFT 알고리즘이이 두 다항식을 곱하는 방법을 보여줄 수 있습니까? (참고 :이 다항식에는 특별한 것이 없지만 쉽게 따라갈 수 있도록 간단하게 유지하고 싶었습니다.)

의사 코드의 알고리즘을 살펴 보았지만 모두 문제가있는 것 같습니다 (입력이 정의되어 있지 않은 변수를 지정하지 마십시오). 놀랍게도, FFT를 사용하여 다항식을 곱하는 예를 누군가가 실제로 (손으로) 어디로 갔는지 찾을 수 없습니다.

algorithms fourier-transform divide-and-conquer

— lars
소스

위키 백과는 계속 이 FFT를 통해 정수 곱셈에 대한 좋은 이미지를,하지만 난 더욱 명시 적으로 단계별로 도움이 될 수 있다고 생각.

— Realz Slaw

우리가 대응 대체 유니티의 네 번째 뿌리, 사용한다고 가정 해 $1,i,-1,-i$ 위해 $x$ . 또한 FFT 알고리즘에서 주파수 데시 메이션 대신 데시 메이션을 사용합니다. (비트 리버설 작업도 매끄럽게 적용합니다.)

첫 번째 다항식의 변환을 계산하기 위해 계수

3, 1, 0, 0.

$3,1,0,0.$ 을 작성하여 시작 합니다. 짝수 계수

3, 0

$3,0$ 의 푸리에 변환 은

3, 3

$3,3$ 이고 홀수 계수

1, 0

$1,0$ 은

1, 1

$1,1$ . (이 변환은

a, b \mapsto a + b, a - b

$a,b \mapsto a+b,a-b$ 입니다.) 따라서 첫 번째 다항식의 변환은

4, 3 + i, 2, 3 - i .

$4,3+i,2,3-i.$ 이것은

X_{0, 2} = E_{0} \pm O_{0}

$X_{0,2} = E_0 \pm O_0$ ,

X_{1, 3} = E_{1} \mp i O_{1}

$X_{1,3} = E_1 \mp i O_1$ . (트위들 팩터 계산에서).

두 번째 다항식에 대해서도 동일하게하겠습니다. 계수는

2, 0, 2, 0.

$2,0,2,0.$ 짝수 계수

2, 2

$2,2$ 로 변환

4, 0

$4,0$ , 및 홀수 계수

0, 0

$0,0$ 으로 변환

0, 0

$0,0$ . 따라서 두 번째 다항식의 변환은

4, 0, 4, 0.

$4,0,4,0.$

우리는 두 개의 푸리에 변환에 포인트

16, 0, 8, 0.

$16, 0, 8, 0.$ 을 곱하여 곱 다항식의 푸리에 변환을 얻습니다 . 역 푸리에 변환을 계산하기 위해 남아 있습니다. 짝수 계수

16, 8

$16,8$ 에 역변환

12, 4

$12,4$ , 및 홀수 번째 계수는

0, 0

$0,0$ 으로 역변환

0, 0

$0,0$ . 역변환은

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$ ) 곱 다항식의 변환은

6, 2, 6, 2.

$6,2,6,2.$ 이것은

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{0}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_0)/2$ ,

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$ . 우리는 원하는 답을 얻었습니다

(3 + x) (2 + 2 x^{2}) = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3} .

$(3 + x)(2 + 2x^2) = 6+2x+6x^2+2x^3.$

— 유발 필름 러스
소스

6,2 6, 2에 어떻게 도착 했습니까?

— lars

나는 공식을 주었다 :

, 여기서

(

)는 공식

통해 얻은 짝수 (홀수) 계수의 역변환

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{2}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_2)/2$

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$

E_{0}, E_{1}

$E_0,E_1$

O_{1}, O_{2}

$O_1,O_2$

. 답을 다시 살펴보십시오-모든 계산이 있습니다.

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$

— Yuval Filmus

왜 짝수 계수를 두 번 사용합니까? 3,3-> 3,3,3,3. -> 3 + 1, 3-i, 3 + -1,3--i?

— Aage Torleif

및

대한 이러한 공식은 어떻게 더 높은 각도로 확장됩니까? 더하기 / 빼기 기호가 계속 뒤집어 집니까? 예를 들어

무엇입니까?

X_{0, 2}

$X_{0,2}$

X_{1, 3}

$X_{1,3}$

X_{0, 2, 4}

$X_{0,2,4}$

— Bobby Lee

@BobbyLee FFT에 관한 문헌을 읽어 보시기 바랍니다.

— Yuval Filmus

위치 deg(A) = q와 다항식을 정의하십시오 deg(B) = p. deg(C) = q + p.

이 경우, deg(C) = 1 + 2 = 3.

A = 3 + x B = 2 x^{2} + 2 C = A * B = ?

$A = 3 + x \\ B = 2x^2 + 2 \\ C = A*B = ?$

계수의 무차별 곱셈으로 $O(n^2)$ 시간에 C를 쉽게 찾을 수 있습니다 . FFT (및 역 FFT)를 적용하면 $O(n\log(n))$ 시간 내에이를 달성 할 수 있습니다. 명시 적으로 :

A와 B의 계수 표현을 값 표현으로 변환합니다. 이 과정을 평가 라고 합니다. 이것을 분할 정복 (D & C)을 수행하는 단계 걸릴 $O(n\log(n))$ 시간.
값 표현에 다항식을 성분별로 곱하십시오. C = A * B의 값 표현을 리턴합니다. 이 작업에는 $O(n)$ 시간 이 걸립니다 .
역 FFT를 사용하여 C를 반전하여 계수 표현에서 C를 구합니다. 이 과정을 보간 이라고 하며 $O(n\log(n))$ 시간 도 걸립니다 .

계속해서, 우리는 각 다항식을 그 값이 계수 인 벡터로 나타냅니다. 우리는 2의 가장 작은 제곱, $n = 2^k, n \geq deg(C)$ 까지 0으로 벡터를 채 웁니다 . 따라서 $n = 4$ 입니다. 2의 거듭 제곱을 선택하면 분할 및 정복 알고리즘을 재귀 적으로 적용 할 수 있습니다.

\begin{aligned} A = 3 + x + 0 x^{2} + 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{a} = [3, 1, 0, 0] \\ B = 2 + 0 x + 2 x^{+} 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{aligned}

$\begin{align} &A = 3+x+0x^2+0x^3 \Rightarrow &\vec{a} = [3, 1, 0, 0]\\ &B = 2+0x+2x^+0x^3 \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{align}$

$A', B'$ 각각 A와 B의 값 표현 이라고하자 . FFT (고속 푸리에 변환 )는 선형 변환 ( 선형 맵 )이며 행렬 $M$ 으로 나타낼 수 있습니다 . 그러므로

A^{'} = M \vec{a} B^{'} = M \vec{b}

$A' = M \overrightarrow{a} \\ B' = M \overrightarrow{b}$

우리는 정의 $M = M_n(\omega)$ $\omega$ 복소수이고 $n^{th}$ 통일성을 복소수. n = 4이 예에서 주목하십시오 . 또한 $j^{th}$ 행 및 $k^{th}$ 열의 항목이 $\omega_n^{jk}$ 입니다. DFT 매트릭스에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하십시오.

M_{4} (w) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ 1 & ω^{1} & ω^{2} & . . . & ω^{n - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & ω^{j k} & . . . \\ 1 & ω^{n - 1} & ω^{2 (n - 1)} & . . . & ω^{(n - 1) (n - 1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}]

$M_4(w) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & \omega^1 & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^{4} & ... & ... \\ ... & ... & ... & \omega^{jk} & ...\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}$

$\omega_4 = 4^{th}$ 근이 주어지면 , 우리는 순서가 정해집니다.

{ω^{0}, ω^{1}, ω^{2}, ω^{3}, ω^{4}, ω^{5}, . . .} = {1, i, - 1, - i, 1, i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^1, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, ... \} = \{1, i, -1, -i, 1, i, ...\}$

이것은 단위 원의 뿌리를 시계 반대 방향 으로 반복하여 시각화 할 수 있습니다 .

mod n $\omega^6 = \omega^{6 \mod n} = \omega^{2} = -1$ $-i = \omega^{3} = \omega^{3+n}$

$A', B'$

A^{'} = M * \vec{a} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 ω \\ 3 + ω^{2} \\ 3 + ω^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] B^{'} = M * \vec{b} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 ω^{2} \\ 2 + 2 ω^{4} \\ 2 + 2 ω^{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]

$A' = M * \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 \omega \\ 3 + \omega^2 \\ 3 + \omega^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \\ B' = M * \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 \omega^2 \\ 2 + 2\omega^4 \\ 2 + 2\omega^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$

이 단계는 D & C 알고리즘을 사용하여 달성 할 수 있습니다 (이 답변의 범위를 벗어남).

$A' * B'$

A^{'} * B^{'} = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = C^{'}

$A' * B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = C'\\$

마지막으로, 마지막 단계는 C '를 계수로 나타내는 것입니다. 주의

C^{'} = M \vec{c} \Rightarrow M^{- 1} C^{'} = M^{- 1} M \vec{c} \Rightarrow \vec{c} = M^{- 1} C^{'}

$C' = M \vec{c} \\ \Rightarrow M^{-1}C' = M^{-1} M \vec{c} \\ \Rightarrow \vec{c} = M^{-1}C'$

$M_n^{-1} = \frac{1}{n} M_n(\omega^{-1})$ $\omega^j = -\omega^{n/2 + j}$

M_{n}^{- 1} = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω^{- 1} & ω^{- 2} & ω^{- 3} \\ 1 & ω^{- 2} & ω^{- 4} & ω^{- 6} \\ 1 & ω^{- 3} & ω^{- 6} & ω^{- 9} \end{matrix}] = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}]

$M_n^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega^{-1} & \omega^{-2} & \omega^{-3}\\ 1 &\omega^{-2} & \omega^{-4} & \omega^{-6}\\ 1 &\omega^{-3} & \omega^{-6} & \omega^{-9} \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$

$\omega^{-j}$

{ω^{0}, ω^{- 1}, ω^{- 2}, ω^{- 3}, ω^{- 4}, ω^{- 5}, . . .} = {1, - i, - 1, i, 1, - i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^{-1}, \omega^{-2}, \omega^{-3}, \omega^{-4}, \omega^{-5}, ... \} = \{1, -i, -1, i, 1, -i, ...\}$

$n^{th}$ $\omega^{-j} = \omega^{n-j}$

\vec{c} = M^{- 1} C^{'} = \frac{1}{n} M_{n} (w^{- 1}) = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \\ (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}]

$\vec{c} = M^{-1}C' = \frac{1}{n} M_n(w^{-1}) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \\ (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2\\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$

C = A * B = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}

$C = A * B = 6 + 2x + 6x^2 + 2x^3$

— j__gt
소스