유클리드 평면 (2D)에 포함 된 그래프의 가장 짧은 비교 차 경로

유클리드 평면에 포함 된 그래프의 최단 경로를 찾기 위해 어떤 알고리즘을 사용합니까?

예를 들어 아래 그래프에서 로 이동하려고합니다 . 일반적으로 Dijkstra의 알고리즘과 같은 알고리즘은 다음과 같은 시퀀스를 생성합니다.$(0,0) \rightarrow (-3,2)$

$$\left[ (0,0) \stackrel {3}{\rightarrow} (0,3) \stackrel{\sqrt{2}}{\rightarrow} (1,2) \stackrel{4}{\rightarrow} (-3,2) \right] = 7+\sqrt{2}.$$

전체 그래프 :

최단 경로 :

가장 짧은 비교 차 경로 :

그러나, 유클리드 평면이 경로 교차 자체는, 그러므로 내가 원하는 이 경우에는, 저에게 짧은 교차하지 않는 순서를 줄 것이다 알고리즘을 :

$$\left[(0,0) \stackrel{3}{\rightarrow} (0,3) \stackrel{3}{\rightarrow} (0,6) \stackrel{5}{\rightarrow} (-3,2) \right] = 11.$$

이 경로는 최단 경로보다 길지만 가장 짧은 비교 차 경로입니다.

이를 수행 할 수있는 (효율적인) 알고리즘이 있습니까?

TikZ 소스

• 전체 그래프 .
• 최단 경로 .
• 가장 짧은 비교 차 경로 .

심지어 여부를 결정 NP-완료 어떤 경로가 존재한다.

주어진 경로가 주어진 그래프에서 유효한 경로인지 확인할 수 있습니다. 따라서 제한 길이 문제는 NP에 있으며 모든 경로 문제인 하위 집합도 마찬가지입니다.

이제 모든 경로 문제 (및 제한 길이 문제)의 NP 경도를 증명하기 위해 SAT-CNF를이 문제로 줄이십시오.

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전역 구조 는 절 조각으로 연결된 와이어 조각 격자입니다. 그래프를 통해 교차하지 않는 경로가있는 경우 논리 수식을 만족할 수 있습니다.

경로의 두 부분을 교차하는 것은 불가능하지만 두 개의 논리 와이어를 교차하는 것이 필요합니다. 오히려 경로 흐름이 엄격하게 지정됩니다. 와이어 포인트는 두 개의 노드로 제공됩니다. 경로가 통과하는 와이어 포인트의 시퀀스는 축소에 의해 강제됩니다. 논리는 선택된 노드로 표시됩니다. 모든 와이어 포인트를 통과하는 한 모든 경로를 선택할 수 있습니다.

이 다이어그램에서 경로는 빨간색 곡선으로 표시되고 논리 흐름은 검은 색 선으로 표시됩니다.

이제 각 구성 요소를 만들어 봅시다.

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배선은 교차점, 분기점 및 수직 와이어의 세 가지 타일을 사용합니다. 가장 어려운 것부터 시작합시다.

교차점 의 기본 개념 은 각 와이어 포인트 쌍에 대한 경로를 준비하고 가능한 경로를 충분히 구부려서 동일한 논리 (호환 가능한 경로)를 인코딩하는 것을 제외한 모든 쌍이 서로 교차하도록하는 것입니다. 물론 우리는 두 개의 평행 한 가장자리가 교차한다고 말할 수는 없지만 여분의 차수 2 노드를 도입하여 두 개의 경로가 교차되도록 할 수 있습니다.

경로가 북쪽에서 서쪽으로 그리고 남쪽에서 동쪽으로 오면, 우리는 북쪽에서 각 경로를 동쪽에서 호환되는 경로로 한 줄에 모으십시오 (일부 호환되지 않는 경로는 서로 교차합니다). 쌍의 순서를 반대로하여 각 쌍을 서로 교차시킵니다. 남쪽과 서쪽 끝점으로 경로를 분배하십시오. 이것은 다이어그램으로 가장 잘 설명됩니다. 여기서 각 노드 쌍은 와이어 포인트를 나타냅니다. 동일한 색상 코드를 가진 경로 (같은 논리를 가짐)는 서로 교차하지 않으며 다른 색상 코드가하는 경로는 다음과 같습니다.

분기점 과 수직 와이어 는 동일하게 작동하지만 상관시킬 경로가 더 적습니다.

$\neg A \vee \neg B$

판독 와이어를 다른 방식으로 분기하여 AND 및 OR 게이트의 임의 트리를 인코딩하도록이 축소를 일반화 할 수 있습니다. 특히, SAT-CNF 및 SAT-DNF는 전술 한 방식으로 비교 차 경로 문제를 감소시키는 것이 가능하다.

이 문제는 Turan 1944에 대한 것으로 보인다. 이것은 이론과 알고리즘, 교차 그래프 수 : Mutzel의 이론과 계산 에 대한 훌륭한 조사처럼 보인다 . wikipedia에 수많은 그래프가 있습니다.