단두대 컷 대 일반 컷

절단 문제는 특정 큰 물체를 여러 개의 작은 물체로 절단해야하는 문제입니다. 예를 들어, 너비가 이고 길이가 큰 원시 유리 시트와 함께 작동하는 공장이 있다고 가정합니다 . 여러 구매자가 있으며, 각 구매자는 무한한 수의 작은 유리 시트를 원합니다. 구매자 는 길이가 이고 너비가 시트를 원합니다 . 목표는 사용 된 총량을 최대화하고 폐기물을 최소화 할 수 있도록 큰 용지에서 작은 용지를 자르는 것입니다 ( 다른 유형의 절단 및 포장 문제도 있음 ).L의 $W$$L$$i$$l_i$$w_i$

절단 문제에서 한 가지 일반적인 제한은 절단이 단두대 절단 이어야한다는 것입니다 . 즉, 기존의 각 사각형은 두 개의 작은 사각형으로 만 절단 할 수 있습니다. L 자형 등을 만드는 것은 불가능합니다. 단두대 절단에 사용 된 최대 사용 면적이 제한없이 사용 된 최대 사용 면적보다 작을 수 있습니다.

내 질문은 : 최적 단두대 절단과 최적의 일반 절단 사이의 비율에 상한과 하한이 있습니까?

관련 연구 : Song et al. (2009) 는 제한된 유형의 단두대 절단 – 두 번 길로틴 절단을 사용하는 알고리즘을 설명합니다 . 기하학적 구속 조건을 사용하여 최대 두 번-길로틴 컷과 최대 단두대 컷 간의 비율이 의해 결정됨을 증명 합니다. 최대 단두대 컷과 최대 일반 컷의 비율에 대한 비슷한 결과를 찾고 있습니다.$\frac{6}{7}$

이것이 빡빡하지는 않지만, 단두대 컷과 일반 컷 사이의 최악의 비율에서 및 3 / 4 의 하한과 상한을 제공 할 수 있습니다 .$1/4$$3/4$

상한에서 시작하여 측면 길이가 정사각형 유리가 있다고 가정 해 봅시다 . 또한 너비 1 - ε 및 길이 1 + ε 의 직사각형 유리 시트에 관심이있는 구매자가 정확히 한 명 입니다. 일반적인 절단을 사용하면 최적의 솔루션은 다음 그림과 같 으며 중간 에 측면 길이 ε 의 작은 사각형 주위에 원하는 사각형 4 개가 배치됩니다 .$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

이 절단 패턴은 단두대 절단으로는 달성 할 수 없음을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로, 단두대 절단을 사용하는 절단 패턴은 최대 3 개의 원하는 사각형을 원래 사각형에 맞출 수 있습니다. 그 결과, 단두대 삭감 일반 컷 사이 최악의 비율은 최소한이며 .$3/4$

다음으로 하한을 살펴 보겠습니다. 하자 와 L은 유리 원반의 측면 길이가 수. 일반성의 손실없이, 우리는 구매자가 존재한다고 가정 할 수 있습니다 내가 그런 것을 w 내가 ≤ W 와 L 전 ≤ L . 그렇지 않으면 단두대 절단 또는 일반 절단을 사용하더라도 원본 시트를 사용할 수 없습니다. 그러나 단두대 컷을 사용 하면 다음 그림과 같이 구매자 i가 원하는 사각형을 간단히 정렬하여 원본 시트의 1/4 이상을 항상 잘라낼 수 있습니다 .$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

$i$$1/4$

나는 하한이 상당히 약하다는 것을 알고 있으며 조금 더 많은 작업으로 향상 될 수 있습니다. 그러나 시작입니다.