직교 다각형 (변이 축과 평행 한 다각형)을 감안할 때, 결합이 다각형과 같은 가장 작은 내부 분리 사각형 세트를 찾고 싶습니다.

다음과 같이 약간 다른 문제에 대한 몇 가지 참조가 있습니다.

• 취재 사각형 직교 다각형 - 내 문제와 유사한를하지만, 커버 사각형이 겹쳐 사용할 수 있습니다. 이 문제에는 다항식 솔루션이 있습니다 ( Aupperle, Conn, Keil and O'Rourke, 1988 ; Bar-Yehuda and Ben-Hanoch, 1996 ).
• 직교 다각형을 사각형으로 타일링 / 분해 / 파티셔닝 . 이 문제에는 다항식 솔루션이 있습니다 ( Keil, 2000 ; Eppstein, 2009 ).
• 커버링 과 직교 다각형이 사각형 -이 문제가되는 것은 공지 NP-완료된 것으로 ( Culberson Reckhow 및 1988 ).

나는 최소한위한 알고리즘을 찾고 타일 과 사각형 .

문제가 NP-hard임을 보여 주려고합니다 .$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

---

에서 감소$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

기본 가제트

가제트는 회로에 사용하기 위해 게이트를 구성 할 수있는 내부 구조 형상으로, 있습니다.$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

4X3 가제트

이 가젯에는 두 개의 유효한 최소 제곱 파티션 상태가 있습니다 .

               

^{왼쪽 4X3 - 가제트 . 중간 및 오른쪽 : 가능한 두 개의 최소 제곱 파티션 상태 .}

5X4 가제트

이 가제트는 더 큰 치수를 가진 4X3 가제트 와 정확히 같습니다 .

               

^{왼쪽 5 × 4-가제트 . 중간 및 오른쪽 : 가능한 두 개의 최소 제곱 파티션 상태 .}

엔드 포인트 가제트

엔드 포인트 가젯 입니다 5 × 4 - 가제트 . 게이트 의 엔드 포인트 / 핀으로 자주 사용됩니다 . 엔드 포인트의 두 상태 중 하나는 true로 평가되고 다른 하나는 false로 평가 될 수 있습니다. 끝점은 두 끝을 하나는 로, 다른 하나는 합니다. 큰 사각형으로 덮인 끝은 끝점의 값입니다.$T$$F$

^{왼쪽 : endpoint-gadget의 와이어 프레임 . 중심 : 실제 값 끝점. 오른쪽 : 잘못된 값의 끝점}

i-wire 가제트

I-와이어 가젯 에 대한 짧은 암시 와이어 .

규칙 :

• I 선 가제트 이상의 길이의 홀수 길이의 직사각형 구성 및 폭 .$2$$2$
• I 선 가제트 수 최소 제곱 파티션 상태 한쪽, 다른, 또는 둘 다에서 푸시를; 이 세 번째 상태 의 i- 와이어 는 국부적으로 구속되지 않은 상태라고 부릅니다 .$3$

예:

^$7$$2$

사용 방법은 다음과 같습니다.

       

^{그림 8,9 , 왼쪽 : 두 끝점에서 와이어 프레임 i 와이어 . 오른쪽 : 연합.}

이제 한 엔드 포인트 가 올바른 상태 인 경우 다른 엔드 포인트가 강제 위치로 설정됩니다. 예:

       

^{왼쪽 : 정사각형 파티션 다이어그램. 왼쪽 스위치가 다운되면 모든 사각형을 i 와이어 아래로 "밀어 내고" 마지막으로 다른 스위치 ( 종료점 )를 밉니다 . 오른쪽 : 정사각형 파티션 다이어그램. 왼쪽 끝 점이 가득 차면 i-wire 아래로 모든 사각형을 "밀어 내고" 왼쪽 끝점 을 "위로" 강제합니다 .}

$A \implies \neg B$$A \implies B$

그러나 이것은 제한되지 않은 경우를 남깁니다.

두 개의 i-wire를 결합하면 본질적으로 부울 (in) 평등이라는 양방향 의미를 얻을 수 있습니다.

       

그래서,이 I-와이어 많은 회로처럼 완전히 평등 관계를 수행 할 수 있습니다 - 사실, 그것은 이다 회로. 이 쌍을 사용하여 사용 가능한 와이어 를 구성합니다 .

각 i-wire 가젯 은 기여합니다.$\frac{l-1}{2}+2$

필요에 따라 i- 와이어의 방향을 지정할 수 있습니다.

철사

와이어는 한 쌍으로 구성 I-와이어 동일한 접속되어 게이트 각 엔드 포인트에있다.

• I-와이어 빨간색과 녹색으로.
• $3$
• 각 게이트 핀에는 녹색 및 적색 접점이 있습니다. 전선이 올바르게 연결되어 있어야합니다.
• 변칙 : 하나의 i- 와이어 가 다른 i- 와이어 의 반대 방향으로 눌려지면각 게이트는 이것을 가정하고 (달리 언급되지 않는 한)이를 확실하게합니다.
• 각 와이어에는 양방향 영향이 포함되므로 회로의 와이어처럼 게이트에서 게이트로 값을 전달합니다.
• 모든 와이어 는 양쪽 끝에있는 게이트에 연결해야합니다. . 이것이 실패하면 내가 묘사 한 일부 문과 위의 불변 규칙에 대한 가정을 망칠 수 있습니다. 그러나 리드에 엔드 포인트 가있는 게이트 는 안전 합니다. 게이트를 망칠 염려없이 스트레이 와이어를 이러한 엔드 포인트에 연결할 수 있습니다 .
• 와이어 는 연결되는 회로의 리드를 포함 하여 홀수 길이 여야합니다 . 그러나 짝수 길이의 와이어가 홀수 길이가되는 홀수 건너 뛰기 게이트를 아래에서 설명합니다 .

사진 :

^{위 : 의 선 .}

       

^{왼쪽 및 오른쪽 : 와이어 의 가능한 최소 사각형 파티션 상태 2 개 . 와이어 길이가이 길이이면 오른쪽이나 왼쪽으로 이동할 수 없으며 정사각형을 작은 조각으로 나눠야합니다.}

전선 은 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다.

벤드 게이트 : 와이어 벤딩

       

^{왼쪽 : 와이어 프레임보기. 오른쪽 : 연합보기.}

4X3 가제트 사용에 유의하십시오 . 빨간색 리드를 홀수 길이로 고정하는 데 사용됩니다.

다음은 벤드의 가능한 최소 정사각형 파티션 상태 입니다.

       

^{왼쪽 및 오른쪽 : 벤딩 와이어의 두 가지 최소 정사각형 파티션 상태 .}

게이트는 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다. 분명히이 게이트는 다른 방향으로 작동하도록 미러링 될 수 있습니다.

와이어 꼬기

전선을 쉽게 옮길 수 있습니다. 와이어 프레임 그림 :

명명 된 값 게이트

라는 값 게이트는 본질적으로 하나의 와이어와 접촉 게이트로서 엔드 포인트 :

홀수 이동 게이트 : 홀수 스킵 와이어

홀수 길이의 와이어 만 갖는 것이 불편한 경우가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

보시다시피, 약간의 확장은 약간 성가시다. 다음은 4X3 게이트를 사용하는 해당 솔루션입니다 .

그래서 이것을 게이트로 바꾸면 이상한 와이어 게이트가 나타납니다 .

게이트는 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다.

twist-gate : 전선 꼬기

Somtimes 는 게이트 와 함께 사용하기 위해 잘못된면에 빨간색과 검은 색 i- 와이어 를 얻습니다 . 이 경우, 적색 및 흑색 i- 와이어 를 반대쪽 으로 비틀기 위해 비틀림 게이트 가 제공됩니다 .

와이어 프레임 그림 :

그것이 효과가 있다고 확신하십시오 :

       

^$A$

게이트는 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다.

split-gate : 와이어 분할

와이어 분할, 와이어 프레임 :

그것이 작동한다는 것을 스스로에게 확신 시키십시오.

^$A$

^$A$

참고 : 스플리터로 들어오고 나가는 모든 와이어 는 불변을 유지하기 위해 어딘가에 엔드 포인트에 연결 해야합니다 . 또는 스플리터의 각 리드 쌍에 엔드 포인트를 추가 할 수 있습니다.

게이트는 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다.

노 게이트

not 게이트는 와이어를 가져와 반대로 영향을주는 와이어를 출력합니다. 와이어의 색상을 재 라벨링하는 것을 제외하고 는 기본적으로 트위스트 게이트 입니다. 하지 게이트 다음과 같다 :

그리고 두 가지 가능한 상태에 대한 견해 :

       

게이트는 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다.

조항 게이트

를 들어 절 게이트 , 우리가 처음 소개 절 - 가젯 :

^$3$

이것이 게이트의 모습입니다 :

$3$

설명:

2. 절 가제트 에서 시작 하여 화살표를 따릅니다.
3. 화살표가 아닌 선은 회로의 일부이지만 게이트에 의해 상태로 강제되지는 않습니다.
4. 조항-가젯 의 상태는 엔드 포인트 중 하나가 true 값이되도록 합니다 .

$3\text{-CNF}$

게이트는 필요에 따라 방향을 설정할 수 있습니다.

절감

$\Phi(\mathbf x)$$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_i^n C_i,\\ C=\left\{(x_j \vee x_k \vee x_l)\right\}$$

시각 자료 (원본 : Terrain Guarding은 NP-Hard (PDF) , tikz로 재현 됨) :

그때:

1. $x_i\in\mathbf x$$x_i$$\neg x_i$
2. not-gate로 게이트를 서로 연결하여 논리적으로 서로의 값을 무효화합니다.
3. 변수의 게이트 다각형을 평면 임베딩의 위치에 놓습니다.
4. 각 절 에 대해 평면 임베딩의 절 위치에 절 게이트 를 배치하십시오 .
5. 위에서 설명한 게이트를 사용하여 모든 변수를 해당 절에 연결하십시오.
6. 모든 게이트 다각형 (전체 회로)의 결과 결합에 대해 최소 제곱 분할 알고리즘 을 실행합니다 .
7. 알고리즘이 모든 게이트의 최소 제곱 파티션 상태 크기 의 합을 반환하면 (공유 코너를 빼기) 만족할 수 있습니다. 만족할 수없는 경우 제한된 가제트를 더 작은 사각형으로 나눌 수 있으므로 회로를 분할하는 데 필요한 사각형 수가 늘어납니다.

작동하는 이유

• 각 가젯에는 최소 사각형 파티션 상태 크기가 있습니다. 즉, 해당 가제트 의 최소 사각형 파티션 은 특정 크기입니다.
• 일부 가제트에는이 크기의 여러 상태가 있습니다. 이러한 각 상태는 유효한 최소 제곱 파티션 입니다.
• 가제트가 코너에서만 결합 될 때, 가제트의 최소 제곱 파티션 상태 의 합은 여전히 이들의 합집합 의 최소 제곱 파티션 상태 이다. 당신은 이것을 직관적으로 볼 수 있습니다 : 모서리에 합류해도 사각형이 다른 가제트의 사각형과 확장 / 연결되는 충분한 공간을 제공하지 않습니다.
• 코너에서 가젯을 결합하면 감소하지 않는 동안 총 최소 평방 파티션 크기를 , 그것은 않습니다 관련된 각 - 기타와 가젯을 제한.
• 위에 표시된 게이트를 사용하면 상태를 충분히 제한하여 논리 수식을 만족할 수없는 경우 하나 이상의 가드가 더 작은 사각형으로 나누어 최소 사각형 크기를 늘려야합니다 .

그래프 소스

• squaretilings1.tex ( writelatex )
• squaretilings2.tex ( writelatex )
• clausegate.tex ( writelatex )

또한 imgur url의 "s", "m", "l"접미사를 제거하면 더 큰 이미지를 볼 수 있습니다. 예를 들어 http://i.stack.imgur.com/6CKlG.jpg 로 이동하면 http://i.stack.imgur.com/6CKlGs.jpg 이미지를 더 크게 볼 수 있습니다 . 앞에 "s"가없는 것을 확인하십시오 .jpg.

$N$$O(N^{3/2})$

"사각형으로 직교 다각형 커버하기." LJ Aupperle과 HE Conn과 JM Keil과 Joseph O'Rourke. Proc. 26 번 Allerton Conf. 코뮌. 컨트롤 컴퓨팅. , pp. 97-106, 1988. ( PDF 스캔 다운로드 링크 )

그러나 결과 피복에는 겹치는 사각형이 포함될 수 있습니다. 사각형이 겹치지 않는 타일을 찾고 있으므로 문제가 동일하지 않습니다.