선은 두 세트의 점을 분리합니다

두 개의 점 세트가 선으로 분리 될 수 있는지 식별 할 수있는 방법이 있습니까?

우리는 두 지점의 세트가 와 B를 분리하는 라인이있는 경우 와 B가 같은 모든 지점 만 라인의 한쪽에, 그리고 모든 지점 B 만 B 반대편에.$A$$B$$A$$B$$A$$A$$B$$B$

내가 찾은 가장 순진한 알고리즘은 와 B에 볼록 다각형을 만들고 교차점을 테스트하는 것입니다. 볼록 다각형을 구성 할 때 시간 복잡성이 O ( n log h ) 이어야하는 시간을 보입니다 . 실제로 나는 시간 복잡성에서 어떤 개선도 기대하지 않는다. 나는 그것이 전혀 개선 될 수 있는지 확신 할 수 없다. 그러나 최소한 그러한 선이 있는지 판단하는 더 아름다운 방법이 있어야합니다.$A$$B$$O(n\log h)$

uli와 Dave Clarke는 이것이 더 큰 차원에서도 (이 두 점 집합이 초평면으로 분리 될 수 있는가) 선형 프로그래밍 문제임을 올바르게 관찰하므로 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다. 그러나 점이 평면에 있기 때문에 문제는 실제로 시간 내에 해결할 수 있습니다 . 여기서 n 은 총 점 수입니다.$O(n)$$n$

가장 간단한 해결책은 아마도 Seidel의 무작위 알고리즘 일 것입니다. 입력 점 를 무작위로 균일하게 선택 하고 p를 제외한 모든 점에 대해 분리선 ℓ 를 재귀 적으로 계산하십시오 .$p$$\ell$ $p$

• 그러한 선이 없으면 원래 점을 분리 할 수 ​​없습니다.

• 경우 올바른쪽에 ℓ 다음 ℓ은 원래 지점 분리한다.$p$$\ell$$\ell$

• 가 ℓ 의 잘못된쪽에 있으면 원래 점을 p를 통해 선으로 분리 하거나 원래 점을 전혀 분리 할 수 ​​없습니다. 이 조건은 O ( n ) 시간 [운동] 에서 쉽게 확인할 수 있습니다.$p$$\ell$$p$$O(n)$

$O(n)$

두 데이터 집합의 속성은 선형 분리 가능성 의 속성입니다 . 간단히 말해서 두 줄을 구분하는 선이 있다는 것입니다. 많은 기계 학습은 관심있는 분리를 수행하는 선인 선형 분류기 를 찾는 데 전념합니다 .

$w_1$$w_2$$w_3$$(a_1,a_2)$$A$$w_1 a_1+w_2a_2\ge w_3$$(b_1,b_2)$$B$$w_1 b_1+w_2b_2<w_3$$w_1 x+w_2y\ge w_3$$A$

$w_1,w_2,w_3$$A$$B$

$w_1,w_2,w_3$

$w_1 a^i_1+w_2a^i_2\ge w_3$$i=1,..,|A|$$A=\{(a^1_1,a^1_2),\ldots,(a^{|A|}_1,a^{|A|}_2)\}$

$w_1 b^j_1+w_2b^j_2< w_3$$j=1,..,|B|$$B=\{(b^1_1,b^1_2),\ldots,(b^{|B|}_1,b^{|B|}_2)\}$

이러한 제약 조건이 일치하면 선이 존재합니다.

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