기능은 항상 무증상입니까?

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우리는 두 알고리즘의 복잡성과 비교하면,이 경우는 일반적으로 그 중 $f(n) = O(g(n))$ 또는 $g(n) = O(f(n))$ (아마도 모두), $f$ 및 예를 들어 두 알고리즘의 실행 시간입니다. $g$

항상 그런가요? 즉, 관계 및 항상 유지 됩니까? , 일반 함수 , ? 그렇지 않다면, 어떤 가정을해야합니까? 그리고 알고리즘 실행 시간에 대해 이야기 할 때 (왜) 괜찮습니까? $f(n) = O(g(n))$ $g(n) = O(f(n))$ $f$ $g$

asymptotics mathematical-analysis

— 라파엘
소스

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모든 기능 쌍이 표기법 과 비교되는 것은 아닙니다 . 기능 고려 및 또한 과 같은 함수 는 실제로 알고리즘 실행 시간으로 발생합니다. 주어진 정수 이 소수 인지 확인하려면 명백한 무차별 대입 알고리즘을 고려하십시오 . $O(\cdot)$ $f(n) = n$

g (n) = {\begin{cases} 1 & if n is odd, \\ n^{2} & if n is even . \end{cases}

$g(n) = \begin{cases} 1 & \text{if $n$ is odd}, \\\ n^2 & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$

g (n)

$g(n)$

n

$n$

IsPrime(n):
  for i ← 2 to (n-1)
     if i·⌊n/i⌋ = n
        return False
  return True

이 알고리즘은 이 짝수 일 때 산술 연산 이 필요합니다 . $\Theta(1)$ $n$ 작업을 할 때복합이지만,연산소수이다. 따라서 공식적으로이 알고리즘은 를 사용하는 알고리즘과비교할 수 없습니다. $O(\sqrt{n})$ $n$ $\Theta(n)$ $n$ 모든대한 산술 연산. $\sqrt{n}$ $n$

알고리즘을 분석 할 때 대부분의 경우 비교적 간단한 함수 대해 형식의 점근 적 상한 만 원합니다 . 예를 들어, 대부분의 교과서는 산술 연산 에서 실행되는 간단하고 정확하게보고합니다 . 전형적인 상한 함수는 지수, 다항식 및 대수의 곱입니다 (계승 및 반복 대수 와 같은 더 이국적인 짐승 도 때때로 나타납니다). 그러한 두 가지 기능이 비교 가능하다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않습니다. $O(f(n))$ $f$ IsPrime(n) $O(n)$

이 MathOverflow 질문 도 참조하십시오 .

— JeffE
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Wikipedia에서 큰 O 표기법의 정의 :

IF 및 모두 충분히 큰 값하는 양의 정수를 M 등이있는 경우에만 , M을 곱한 많아야 인 의 절대 값이다. 즉, 의 경우와 양의 실수가있는 경우에만 과 실수 되도록을 $x$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x) \in O(g(x))$ $M$ $x_0$

$|f(x)|<= M |g(x)| \quad \text{for all} \; x > x_0$

수렴하지 않는 함수 (상수 또는 무한대로)는 어떻게됩니까?

함수를보십시오 및 $f(x) = |xsin(x)|$ $g(x) = 10$

각 에 대해 , 와 같은 일부 있으므로 각 - 거짓이되고, $x_0$ $x > x0$ $x = k\pi$ $f(x) = 0$ $M$ $Mf(x) > g(x)$ $g(x) \; \not\in O(f(x))$

그러나, 쉽게 볼 수 각 따라서뿐만 아니라 임의의 상수에 의해 제한되지 않고 , , 일부가 되도록 가양 수율 것이다 $|xsin(x)|$ $M$ $x_0$ $x > x_0$ $f(x) < Mg(x)$ $f(x) \not\in O(g(x))$

참고 : 와 사이의 최대 상수 차이를 허용하는 big O 인 경우 와 동일한 아이디어가 적용됩니다. $Mf(x)$ $g(x)$ $g(x) = \log(x)$

— 완화하다
소스

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다음 은 비대칭 적으로 비교할 수없는 한 쌍의 단조 함수입니다. 실제로 발생하는 대부분의 복잡성이 실제로 단조롭 기 때문에 이는 관련이 있습니다.

에프 (엑스) = Γ (⌊ 엑스 ⌋ + 1) = ⌊ 엑스 ⌋!

$f(x) = \Gamma( \lfloor x \rfloor + 1 ) = \lfloor x \rfloor !$

지 (엑스) = Γ (⌊ 엑스 - 1 / 2 ⌋ + 삼 / 2)

$g(x) = \Gamma( \lfloor x-1/2 \rfloor + 3/2 )$

$\Gamma$

— 암브 로즈 비자 크
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$\mathcal{L}$ $\exp(2\sqrt{\log x + \log\log x})/x^2$ $f,g \in \mathcal{L}$ $f = o(g)$ $f = \omega(g)$ $f/g$

결론은 알고리즘 분석에서 발생하는 두 가지 "간단한"기능 이 비슷 하다는 것입니다 . 여기서 "단순"은 사례별로 정의가없고 (거의 많은 기본 사례를 제외하고) 때때로 실행 시간을 나타내는 역 Ackermann 함수와 같은 놀라운 기능이 나타나지 않음을 의미합니다.

— 유발 필름 러스
소스

좋은! 그러나주기적인 요소는 d & c 알고리즘의 평균 사례 분석에서 자주 발생합니다. 내가 아는 것은 상수에 의해 양쪽에 묶여 있기 때문에 점근 적 비교에 해를 끼치 지 않습니다.

— Raphael