무한 재귀 집합의 하위 집합

최근 시험 문제는 다음과 같습니다.

는 무한 재귀 열거 가능 집합입니다. 에 무한 재귀 하위 집합이있음을 증명하십시오. $A$ $A$

를 의 무한 재귀 서브 세트라고 하자 . 에는 재귀 적으로 열거 할 수 없는 하위 집합이 있어야 합니까? $C$ $A$ $C$

나는 이미 1. 대답했다. 2. 나는 긍정적으로 대답하고 다음과 같이 주장했다.

모든 하위 집합 이 재귀 적으로 열거 가능 하다고 가정하십시오 . 이후 무한대의 멱 집합 너무 많은 가정하여 uncountably 재귀 열거 집합이있을 것, 셀 수있다. 그러나 재귀 적으로 열거 가능한 세트는이를 인식하는 Turing 기계와 일대일로 대응되며 Turing 기계는 열거 가능합니다. 모순. 따라서 에는 재귀 적으로 열거 할 수없는 하위 집합이 있어야합니다. $C$ $C$ $C$ $C$

이 올바른지?

computability check-my-proof

— 사용자 1435
소스

각 재설정은 하나뿐 아니라 수많은 Turing 기계에 의해 열거되기 때문에 마지막에는 정확하지 않습니다. 그러나이 문제를 해결할 수 있습니다.

— Carl Mummert

@Carl : 아, 맞아요. 고마워요. 그러나 내가 필요한 것은 bijection이 아닌 TM에 주입하는 것입니다. 그리고 내 클래스와 함께 일한 Turing-computable의 정의에서 각 TM은 하나의 함수와 관련이 있습니다. 서로 다른 세트-> 다른 인식 기능-> 다른 TM을 계산합니다.

— user1435

! user1435 : 마지막 문장의 내용을 되돌립니다. 각 Turing 기계는 단일 기능을 계산하지만 계산 가능한 각 기능은 수많은 Turing 기계에서 얻을 수 있습니다.

— Carl Mummert

그러나 내 함수 f가 f (r) =을 통해 {인식 함수 r}을 {TMs}에 매핑하면 그것을 계산하는 수많은 TM 중 하나를 주입 할 수 있습니다. 또는 동일한 기능을 계산하는 TM의 무한대를 식별하고 등가 관계로 {TMs}를 분할 한 다음 r을 해당 동등성 클래스에 매핑 할 수 있다고 가정합니다.

— user1435

Carl은 옳습니다. 일대일 대응이 아니며 각 세트는 무한히 많은 TM에 해당합니다. 주석에서와 같이 다른 객체 세트를 고려해도 아무것도 변경되지 않으며 TM 세트가 아닙니다.

— Kaveh

맞습니다.

$\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

$C$

$D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— 카베
소스

"무한한 세트마다 결정 불가능한 부분 집합이 있습니다." 이것은 내가 증명하려고 한 주장보다 약합니다. 나는 C가 결정 불가능한 부분 집합이 아닌 RE가 아닌 부분 집합을 가지고 있음을 증명하려고 노력했다. 내 주장이 여전히 정확합니까?

— user1435

예. "결정할 수없는"이라는 용어는 약간 오버로드되었습니다 (Wikipedia는 좋은 토론을합니다 ). 따라서이 답변은 아마도 당신이 증명하려고하는 것을 의미합니다.

— David Lewis

@ user1435, 그렇습니다. 어떤 계산 가능한 언어 클래스에서도 동일한 인수가 작동합니다. 질문을 명확하게하기 위해 질문을 업데이트했습니다.

— Kaveh