배선 길이 최소화

내 문제는 다음과 같습니다

1. 그래프로 표현 된 실제 레이아웃이 있습니다. 노드는 와이어가 고정 될 수있는 후크 / 덕트를 나타내며 모서리는 와이어가 이동할 수있는 두 노드 사이의 가능한 연결입니다.

2. 단일 와이어를 2 개 이상 최대 k 개로 분할 할 수있는 스플리터라고하는 특수 노드가 있습니다. k는 현재 일정하게 유지 될 수 있지만 노드마다 다릅니다. 모든 노드가 스플리터 인 것은 아닙니다.

3. 전선이 나오는 곳에서 하나의 전원 공급원이 있습니다. 소스입니다. 와이어는 n 개의 싱크로 연결되어야합니다.

4. 가장자리는 어느 방향으로나 통과하는 와이어 수에 제한이 없습니다.

5. 총 와이어 길이를 최소화해야합니다.

6. 그래프, 평면 또는 유클리드의 특성은 알려져 있지 않습니다.

예 : 아래는 샘플 네트워크입니다. 노드는 숫자로 이름이 지정되고 모서리는 동일한 가중치 1로 제공됩니다. 소스는 Node1이고 싱크는 Node5, Node9 및 Node13입니다. 1 Node6이 Splitter 노드 인 경우 2의 경우 Node6 및 Node4가 스플리터 노드입니다. 스플리터 노드의 k = 3, 즉 하나의 와이어를 가져 와서 3 개의 와이어로 분리 할 수 ​​있습니다.

사례 1 . 하나의 스플리터 노드 만 Node6에서 분할하는 것이 좋습니다.

사례 2 . 두 개의 스플리터 노드. Node6 대신 Node4에서 분할하는 것이 좋습니다.

이 문제에 대한 일반적인 해결책을 찾기 위해 다른 전략을 찾고 있습니다. 여기에 제시된 그래프는 실제 문제에 비해 규모가 작습니다. 그래프는 정적이며 변경할 수 없습니다 (즉, 솔루션이 새로운 에지를 제안하거나 새로운 스플리터 위치를 제안해서는 안됨을 의미합니다). 이런 종류의 문제에 관한 연구 논문에 대한 언급도 환영합니다.

사례 3 . 두 개의 스플리터 노드. Node4와 Node14에서 분할하는 것이 좋습니다. 이 경우 Edge 8-12, 6-10 및 10-11에 대해 Edge 가중치가 변경되었습니다. 이 경우 중요한 것은 Node14에서 분리 된 후 와이어를 다시 추적하는 것입니다.

이 문제는 NP-hard입니다.

모든 정점이 임의의 각도로 나눌 수있는 스플리터라고 가정하면 문제는 그래프 의 Steiner 트리 문제입니다. 여기서 소스 및 싱크 정점 세트는 필수 정점입니다.

$i$$k_i$

단순화는 모든 중간 (사각형) 노드를 제거 할 수 있다는 것입니다. 소스 노드, 싱크 노드 및 스플리터 노드만으로 그래프를 작성하십시오.

1. 원래 그래프에서 소스 노드에서 각 스플리터 노드까지의 최단 경로를 찾고 소스 그래프에서 해당 길이의 스플리터 노드로 새 그래프의 모서리를 추가하십시오.

2. $i$$j$$i$$j$$i$$j$

3. $i$$j$$i$$j$$i$$j$

$N$$i$$k_i$

$k_i$

@ Chao Xu, 나는 또한 Steiner가 내 문제에 가장 가까운 근사치라는 것을 알았습니다. 이 문제를 해결하기 위해 Ant 기반 시스템을 탐색 중입니다.