선형 프로그래밍에 대한 강력한 이중성 정리의 짧고 매끄러운 증거

선형 프로그램을 고려하십시오

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

약한 이원성 정리는 및 가 제약 조건을 만족하면 입니다. 선형 대수를 사용하여 짧고 매끈한 증거가 있습니다. . $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$

강한 이중성 정리는 가 초기에 최적의 솔루션이라면 는 이중과 . $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$

강한 이중성 정리에 대한 유사하고 짧은 증거가 있습니까?

— 카베
소스

Bradley, Hax 및 Magnanti 의 MIT 온라인 강좌 web.mit.edu/15.053/www 의 4 장은 이러한 행을 따라 상당히 짧은 증거를 제공합니다. 찾고 계십니까?

— 코디

@cody, 글쎄, 그것은 본질적으로 CLRS의 것과 동일하게 보입니다. 매끄러운 선형 대수 방식으로 표현할 수 있으면 좋을 수 있습니다 (즉, 합계가 없음).

— Kaveh

내가 원하는 것은 아마도 불가능한 것 같습니다. Farkas는 공간의 폐쇄성을 사용하므로 순수한 선형 대수 증거가 없을 수 있습니다.

— Kaveh

너무 귀찮은 것을 찾아 내고, 학생들에게 (따라서 믿음에 강한 이원성을 가질 필요는 없음) 보여주기 위해 노력하고, 내가 겪은 대부분은 너무 귀찮은 범주에 있습니다. Dan Spielman 클래스의 노트에서 논증을 찾았습니다. 이것은 꽤 짧고 단순 해 보입니다. 그것이 복잡성을 숨기고 있는지, 누락 된 것이 있는지 확실하지 않습니까? (유무는 철저하게 충분한 아직 말할 조사하지.) cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— 매그너스 거짓말 헤 틀란

아, 나는 중심 강점

— Magnus Lie Hetland

아마 아닙니다. 여기에 기초한 개념적 논쟁이 있습니다.

Farkas Lemma : 다음 대안 중 하나에 해결책이 있습니다.

$Ax \le b$ 및 $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ 및 $y^Tb < 0$

이제 원초의 최적의 객관적인 값으로하자 하자 임의의 수. 하자 할 추가로 마지막 행으로. 하자 로 추가로 마지막 값을. $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

시스템 에는 해결책이 없습니다. Farkas에는 다음과 같은 가 있습니다. $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ 및 . $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

참고하면 것을 우리가 Farkas 보낸 사람의 다른 대안에 있습니다. 따라서 입니다. $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

스케일 되도록 . 는 이중 실현 가능합니다. 약한 이중성은 냅니다. $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— 루이스
소스

이것이 Jeff Erickson의 강의 노트의 증거라고 생각 합니다 . 나는 엡실론을 피하는 무언가를 찾고 있습니다 (순수 선형 대수와 같은).

— Kaveh

JeffE의 기능은 약간 다르며 지오메트리에 대해 더 자세히 설명합니다. 어쨌든, 당신은 실현 가능한 영역이 선형 공간이 아닌 다면체라는 의미에서 원하는 것을 찾지 않을 것이므로 결국 무언가를 사용해야 할 것입니다. (여기, 그것은 Farkas에 숨어있다. Gärtner와 Matoušek의 책은 이것에 대한 정말 좋은 참고 자료이다. 나는이 증거가 거기에 있다고 확신한다.)

— Louis