주어진 반지름의 최대 둘러싸는 원

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다음 문제에 대한 접근 방식을 찾으려고합니다.

점 와 반지름 의 세트로 , 원이 세트의 최대 점 수를 포함하도록 원의 중심점을 찾으십시오. 실행 시간은 여야합니다 . $S$ $r$ $O(n^2)$

처음에는 에서 쉽게 해결할 수있는 가장 작은 엔 클로징 서클 문제와 비슷한 것으로 보였습니다 . 아이디어는 임의의 중심을 설정하고 모든 지점을 둘러싼 것입니다 . 다음으로, 단계별로 원을 교체하여 가장 왼쪽 / 가장 오른쪽 점을 터치하고 원을 주어진 반지름으로 줄이십시오. 분명히 작동하지 않습니다. $O(n^2)$ $S$

algorithms computational-geometry

— com
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시간 에이 문제를 해결하는 방법을 모르지만 알고리즘이 존재합니다. $O(n^2)$ $O(n^2\log n)$

하자 는 중심 인 원 수 상기 반경을 가진 번째 포인트, . 이 지점 세트 찾기 어렵지 않다 반경을 가진 원에 의해 둘러싸인 수 교차 IFF 의 $C(s_i)$ $s_i$ $i$ $r$ $P = \{p_0, p_1, \ldots, p_m\}$ $r$ $I(P)$ 는 비어 있지 않습니다. 경우 또한, 비어 있지 않은, 몇 가지 포인트가 있어야 일부에 누워 (의 경계 ). 그래서 각각 각각의 점 의 bondary에, 우리는 원 포함 얼마나 많은 찾으려고 . 모든 중 최대 개수는이 문제에 대한 답입니다. $C(p_0), C(p_1), \ldots, C(p_m)$ $I(P)$ $I(P)$ $\textbf{bd}C(p_i)$ $C(p_i)$ $C(s_i)$ $p$ $p$ $p$

점을 살펴 보자 . 과 의 실수 사이에는 일대일 매핑이 있습니다. 각 원 들어 사이의 교점 및 의 간격에 의해 표현 될 수있다 $\textbf{bd}C(s_i)$ $\textbf{bd}C(s_i)$ $[0, 2\pi)$ $C(s_j)$ $C(s_j)$ $\textbf{bd}C(s_i)$ . 그래서 제외한 모든 원에 대한 대부분에있다 간격 (일부 서클 수 없습니다 교차와 ). 최대 카운트는간격의 끝점을모두 정렬하고순서대로 스캔하고 현재 겹치는 숫자를 계산하여쉽게 찾을 수 있습니다. 각 이 단계는 수행 될 수 $[begin_j, end_j]$ $C(s_i)$ $n-1$ $C(s_i)$ $2(n-1)$ $C(s_i)$ 시간, 거기 이 알고리즘의 시간 복잡도가 있으므로 이러한 원은 . $O(n\log n)$ $n$ $O(n^2\log n)$

— 우인
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원의 배열은 표준 무작위 증분 알고리즘을 사용하여

시간 (높은 확률로) 으로 구성 될 수 있습니다 . 실제로, 실행 시간은

이며, 여기서

는 교차하는 원 쌍의 수입니다. 좋아하는 전산 기하학 교과서를 참조하십시오.

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n \log n + k)

$O(n\log n + k)$

k

$k$

— JeffE

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어려운 질문은 선택한 원이 실제로 세트 내에서 "최대"인지 아는 것입니다. 내가 이것을 결정할 수있는 유일한 방법은 가능한 모든 점 조합을 시도하고 점을 둘러싸는 원의 크기를 테스트하는 것입니다.

먼저 점 공간을 너비가 2r 인 정사각형 셀 격자로 나눠서 검색 공간을 줄일 수 있습니다. 그런 다음 밀도가 가장 높은 셀을 찾으십시오. X 점의 원 하나를 이미 찾았으므로 더 많은 점이있는 원이 있으면 그 안에 X 점 이상이 있어야한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 그리고 이것을 여러 가지 조합의 포인트를 테스트하기위한 시작점으로 사용하십시오.

최대 일 가능성이있는 일련의 점만 찾으려면 이웃의 밀도가있는 셀의 주변에 해당하는 지점을 선택하여 테스트해야하는 조합 수를 추가로 줄일 수 있습니다 X보다 큽니다.

이것을 말하면, "감소"는 모두 실패 할 수 있으며, 최악의 경우 가능한 모든 포인트 조합에 대한 원을 계산하게됩니다.

— Putnampp
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$O(n^2)$

$2n^2$ $O(n^2log(n))$

$O(n^2)$ $O(n^2)$

$V + E - F = 2$ $O(n^2)$

— 스택 99
소스

이것이 받아 들여진 답변의 보완 물로 읽히고 독자적으로 읽히지 않아야한다면 (이 주제에 대해 무지하기 때문에 알지 못합니다), 그것에 대해 명시해야합니다.

— babou