K- 크릭 문제에 대한

Clique 문제는 필요한 Clique 의 크기가 입력의 일부인 잘 알려진 -complete 문제입니다. 그러나 k- 크릭 문제에는 사소한 다항식 시간 알고리즘이 있습니다 ( k 가 일정 할 경우 O ( n k ) ). k가 일정 할 때 가장 잘 알려진 상한에 관심이 있습니다.$NP$$O(n^k)$$k$

런타임 의 알고리즘이 있습니까? O ( N 개의 K ) - 시간 알고리즘도 가능하다. 또한 그러한 알고리즘의 존재로 인해 복잡하고 이론적 인 결과가 있습니까?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

3- 클리크 는 시간 O ( n ω ) 의 정점 그래프 G 에서 찾을 수 있으며 , 여기서 ω < 2.376 은 행렬 곱셈 지수이고, Itai와 Rodeh의 결과에 의해 O ( n 2 ) 공간에서 발견됩니다 [1] . 기본적으로 그들은 ( A ( G ) ) 3 이 주 대각선에 0이 아닌 경우에만 G 에 삼각형이 포함되어 있음을 보여줍니다 . 삼각형도 사이클 C 3 이기 때문에$n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$삼각형을 감지하기 위해 일반적인 사이클 찾기 방법을 사용할 수 있습니다. Alon, Yuster 및 Zwick 은 O ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1.41 ) 시간 으로 edge 그래프에서 삼각형이 어떻게 감지되는지 보여줍니다 [6].$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

오랫동안 Nesetril과 Poljak의 결과는 가장 잘 알려져 있었다. 그들은 시간 O ( n ω k ) 와 O ( n 2 k ) 공간 에서 크기의 파편의 수가 발견됨 을 보여 주었다 . 마지막으로, Eisenbrand와 Grandoni [3]는 Nesetril과 Poljak의 결과에 대해 ( 3 k + 1 )- 크릭을 위해 , 3 k + 2 )- 크릭을 작은 k 값으로 개선했습니다 . 구체적으로, 그들은 시간 O 에서 크기 4, 5, 7의 도둑을 찾는 알고리즘을 제공$3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n 4.220 ) 및 O ( n 5.714 ) .$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

내가 아는 한, 일반적인 에 대해 더 나은 알고리즘을 설계하는 문제는 열려 있습니다. 가능한 결과 또는 복잡성 이론적 고려를 위해, 다우니와 펠로우 (예를 들어 [4] 참조)는 매개 변수 k 가 W [ 1 ] -hard 인 k- clique를 보여 주었다 . 클래스 W [ 1 ] 는 매개 변수화 된 축소로 CLIQUE로 환원 가능한 매개 변수화 된 결정 문제의 클래스를 나타냅니다. CLIQUE는 고정 매개 변수 다루기 쉬운 것이 아니라고 믿어집니다. 매개 변수화 된 축소에서는 CLIQUE와 동등한 것으로 알려진 수백 가지의 다른 문제가 있습니다. 또한, Feige와 Kilian [5, 섹션 2]은 $k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$는 입력의 일부이고 이면 polytime 알고리즘이 존재하지 않을 것입니다.$k \approx \log n$

제한된 그래프 클래스를 고려하면 코드 그래프에서 선형 시간으로 문제를 해결할 수 있습니다. 단순히 현 그래프의 도당 트리 계산 에서 O ( N + m ) 시간 후 임의 도당 정확하게 크기인지 확인 케이 . 평면 그래프에서 [6]의 방법을 사용하여 O ( n ) 시간에 삼각형을 찾을 수도 있습니다 .$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai, Alon 및 Michael Rodeh. "그래프에서 최소 회로 찾기." SIAM Journal on Computing 7.4 (1978) : 413-423.

[2] Nešetřil, Jaroslav 및 Svatopluk Poljak. "서브 그래프 문제의 복잡성." 주석 Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2 (1985) : 415-419.

[3] Eisenbrand 프리드리히 및 파브리 Grandoni. "고정 된 매개 변수 클릭과 지배적 인 설정의 복잡성." 이론적 컴퓨터 과학 326.1 (2004) : 57-67.

[4] 다우니, RG 및 마이클 R. 펠로우. "매개 변수화 된 복잡성의 기초" Springer-Verlag (2012), 컴퓨터 과학 학부 교과서.

[5] Feige 우리엘 및 킬리안 조. "제한된 대 다항식 비결정론". 시카고 컴퓨터 이론 이론. (1997)

[6] Alon, Noga, Raphael Yuster 및 Uri Zwick. "길이주기를 찾고 계산하기." Algorithmica 17.3 (1997) : 209-223.