이 알고리즘이 결국 종료됨을 증명하는 쉬운 방법

소개 및 표기법 :

다음은 (실험에 따라) 종료되는 것으로 보이는 새롭고 간단한 알고리즘 버전입니다. 이제이를 증명하고 싶습니다.

표기법 은 차원 데이터 포인트 (벡터)를 나타냅니다. 나는 A, B, C의 세 세트를 가지고있다. , , : $x_i \in \mathbb{R}^p$ $p$ $|A| = n$ $|B| = m$ $|C| = l$

A = {x i | i = 1, . ., n}

$A = \{x_i | i = 1, .., n\}$

B = {x j | j = n + 1, . ., n + m}

$B = \{x_j | j = n+1, .., n+m\}$

C = {x u | u = n + m + 1, . ., n + m + l}

$C = \{x_u | u = n+m+1, .., n+m+l\}$

감안할 ,하자 의 평균 유클리드 거리 나타낸다 그에게 에 가까운 점 ; 및 의 평균 유클리드 거리 나타낸다 그에게 에서 가까운 점 . $k \in \mathbb{N^*}$ $d_{x_i}^A$ $x_i$ $k$ $A$ $d_{x_i}^C$ $x_i$ $k$ $C$

연산:

선택한 일부 요소를 A에서 B로 또는 그 반대로 이동하여 세트 A 및 B를 반복적으로 수정하는 다음 알고리즘이 있으며 C는 항상 동일하게 유지됩니다 (변경하지 마십시오). 간단하게하기 위해 : 알고리즘의 목적은 세트 와 를 더 잘 분리하여 " 의 점이 알려진 고정 세트 의 점과 더 유사 "하고 " 점이 최종적으로 자기 유사하고 와는 멀리 최종 세트 " $A$ $B$ $B$ $C$ $A$ $C$ $B$

$A' = \{ x_i \in A \mid d_{x_i}^A > d_{x_i}^C \}$ ... (1)
$A = A \setminus A'$ ; ... (2) $B = B \cup A'$
$B' = \{ x_i \in B \mid d_{x_i}^A < d_{x_i}^C$ } ... (3)
$B = B \setminus B'$ ; ... (4) $A = A \cup B'$
반복 (1), (2), (3), 그리고까지 (4) : (아무런 요소 이동 에 또는에서 로 , A는 '와 B'빈 될 수 없음) 또는 ( 또는 ) $A$ $B$ $B$ $A$ $|A| \leq k$ $|B| \leq k$

알고리즘은 두 가지 경우에 종료됩니다.

때또는 보다 작거나 같다 $|A|$ $|B|$ $k$
또는 일 때 가장 일반적인 경우 는 더 이상 A와 B 사이에 요소가 이동하지 않음을 의미합니다. $A' = B' = \emptyset$

질문:

이 알고리즘이 결국 종료됨을 증명하는 방법은 무엇입니까? 알고리즘으로 엄격하게 최소화하거나 최대화 할 수있는 편리한 잠재적 기능을 찾지 못했습니다. 함수 같은 일부 함수를 성공적으로 시도하지 않았지만 반복 할 때마다 증가하지 않습니다. 함수 하지만 각 반복에서 감소되지 않는다. 함수 각 반복에서 감소 될 수없는 것으로 보인다. 함수 $\sum_{x \in A} d_x^C + \sum_{x \in B} d_x^A$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^C$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^B$ $\sum_{x \in A} d_x^B + \sum_{x \in B} d_x^A$ 각 반복마다 증가하지 않는 것 같습니다. 따라서 각 반복마다 증가 또는 감소하는 것으로 보여 질 수있는 편리한 잠재적 기능은 무엇입니까? 또는 함수가 감소하지만 각 반복에서 (일부 반복 후에) 감소하지 않음을 보여 주어야합니까? 어떻게 ?

노트:

포인트 가까운 세트의 수단 다음 포인트 (다른 것보다 )에서 , 가장 작은 유클리드 거리를 갖는 . 을 취 하면 분석이 간단 해집니다. $k$ $x$ $S$ $k$ $x$ $S$ $x$ $k = 1$
이것이 도움이되는지 아닌지는 모르겠지만 초기 세트 대해 다음 속성 이 있습니다 가 가장 가까운 지점 인 경우 처음에 에 및 할 수있는 가장 가까운 지점입니다 항상 다음 . 이것은 직관적으로 점이 점보다 더 가깝다는 것을 의미합니다 . $A, B, C$ $\forall x_i \in B, x_j \in A$ $x_b \in C$ $x_i$ $x_a \in C$ $x_j$ $distance(x_i, x_b) < distance(x_j, x_a)$ $B$ $C$ $A$
즉 쉽게 분석한다 경우 그것으로부터 점 자마자 알고리즘의 약간 다른 버전 고려 완전히 가능 이동해야 , 그것으로부터 이동 에 (지나가는없이 ) 및 경우도 마찬가지입니다 . $A$ $B$ $A$ $B$ $A'$ $B$

— 신
소스

왜이 특정 알고리즘에 관심이 있습니까?

shna : 임의로 세 세트로 나누어 진 포인트 모음으로 무엇을하고 싶습니까?

@shna 알고리즘의 목적과 목표를 알면 직관력이 향상되어 문제를 도울 수 있습니다.

@RichardRast는 설명을 간단하게 만드는 방법 : 목적은 더 나은 세트를 분리하는 것입니다 및 '의 포인트 있도록 알려진 고정 된 세트의 것과 더 유사하다 와 "의 포인트" 자기 유사성 마지막으로하고 와 최종 세트 " 에서 멀어집니다 .

A $A$

B $B$

C $C$

A $A$

C $C$

B $B$

— 제출

cstheory 로의 마이그레이션이 거부되었습니다.

케이스 대한 해결책은 다음과 같습니다 . $k = 1$

알고리즘이 종료되지 않는다고 가정하십시오. 알고리즘에는 유한 한 개수의 상태 ( 및 에 할당이 할당 됨 )가 있으므로 알고리즘 상태는주기마다 반복되어야합니다. 사이클이 다른 상태를 거치기 때문에 와 사이를 무한정 자주 전환하는 지점이 있어야합니다 . $A$ $B$ $A$ $B$

이 사이클에서 가 무한정 자주 바뀌는 지점 이라고하자 . 가 에서 전환 되는주기 내에서 알고리즘의 첫 번째 반복을 선택하십시오 . 들어 로 전환 , 적어도 하나의 포인트가 틀림 에 와 . 가장 작은 레이블이 붙은 지점을 임의로 선택하십시오. 함수 정의 있도록 $x$ $x$ $B$ $A$ $x$ $A$ $x'$ $A$ $d_x^C > dist(x, x')$ $f$ . 참고 도 사이를 전환해야합니다와 무한 자주 (때문에 경우 에 머물영구적으로, 그래서 것 ), 우리가 취할 수 있도록 등 $f(x) = x'$ $x'$ $A$ $B$ $x'$ $A$ $x$ $f(f(x)), f(f(f(x))),$

우리는 점 유한 수를 갖기 때문에, (F)의 반복은 결국 반복해야 일부 . 이제 C : 에서 해당 거리의 시퀀스를 살펴보십시오 $f^n(x) = f^m(x)$ $m > n$ $d_{f(x)}^C, d_{f^2(x)}^C, ... d_{f^n(x)}^C, ...$ . 반복되기 때문에이 시퀀스는 균일하게 줄어들 수 없습니다. 와 같은 반복 가 있어야합니다. $o$ $d_{f^{o-1}(x)}^C \leq d_{f^o(x)}^C$

이제 및 는 서로 가까이있어 가 될 경우 서로 에있게됩니다. 즉, 둘 중 하나가 비해 서로 더 가깝습니다 . $f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $C$ ( 정의에서) $d_{f^o(x)}^C \geq d_{f^{o-1}(x)}^C > dist(f^{o-1}(x), f^o(x))$ $f$

따라서 및 가 모두 에 있으면 서로 영원히 유지 됩니다 (알고리즘의 1-2 줄 참조). 이것은 모든 반복이 세트를 무한정 자주 전환해야 한다는 사실과 모순 됩니다. 따라서 인 경우 알고리즘이 종료됩니다. $f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $A$ $f$ $k = 1$

— 사역 동사
소스

이것은 다소 복잡하며

에만 표시 될 수 있습니다 . 오히려 각 반복마다 증가하거나 감소하는 것으로 보이는 잠재적 기능을 도출 할 수 있다면 훨씬 좋습니다. 또는 1이 아닌 "일부"반복 후에 증가하거나 감소하는 것으로 표시 될 수 있습니다. $k = 1$

— shn

@shn 왜 당신이 당신의 문제를 해결하는 데 더 성공한 누군가의 증명 기술의 선택을 비판하는지 잘 모르겠습니다. 특히 자신의 질문에 선호하는 기술 사용에 대한 네 번의 시도가 실패한 경우.

— David Richerby

@DavidRicherby 나는 비난하지 않고;) IRC에서 "이 원인을 가진"(이 답변을 준 사람)으로 그 솔루션에 대해 실제로 논의했으며 우리는

대해 이런 식으로 증명할 수 없다는 것을 알았습니다 . 그래서 우리는 매 반복마다 감소 할 수있는 잠재적 함수를 도출 할 수 있다면 훨씬 더 좋다고 추론했습니다. 내 의견은 단지 유익했다. $k > 1$

— 쉬움